OliForum Matematico

Salve a tutti! Ho questo quesito:

Per quanti interi positivi $ m^2+3m $ è un quadrato perfetto?

Io ho trovato che per m=1 viene 4 ma ci sono altre soluzioni? Boh... generalmente i problemi di questo genere come si risolvono? Grazie ciao.

Allora m^2+3m=m(m+3). Ora il MCD tra m e m+3 può essere o 1 o 3. Nel caso sia 1 hai che m e m+3 sono primi tra loro quindi devono essere entrambi quadrati perfetti (da qui ottieni la soluzione m=1). Nel caso in cui MCD=3 allora hai che entrambi devono essere della forma 3k^2 (in questo caso non ottieni soluzioni).

allora qui credo di poterti aiutare anch'io pur nella mia ignoranza. Allora poniamo $ m^2+3m=x^2 $. Questo implica che $ x=km $. Sostituiamo e troviamo $ m(k+1)(k-1)=3 $, che ha soluzione solo per $ m=1,k=2 $, e quindi abbiamo concluso

"se m divide x^2, allora m divide x"
in realtà non funziona sempre. Ad esempio 4 divide 2^2, ma non divide 2.
Se m è primo, o è un prodotto di primi distinti, puoi essere sicuro... altrimenti no.

Altra soluzione (giusto per farti vedere un po' di metodi).
$ m^2+3m=k^2 $ cioè $ m^2+3m-k^2=0 $. Affinchè $ m $ sia intero dovremo avere il delta intero, cioè $ 9+4k^2=n^2 $ da cui $ 9=(n-2k)(n+2k) $. $ 9=3\cdot3=1\cdot9 $. Nel primo caso abbiamo $ k=0 $ che non porta a soluzioni. Nel secondo caso abbiamo $ k=2 $ che porta alla soluzione $ m=1 $.

Grazie a tutti siete stati gentilissimi!

edriv ha scritto:"se m divide x^2, allora m divide x"
in realtà non funziona sempre. Ad esempio 4 divide 2^2, ma non divide 2.
Se m è primo, o è un prodotto di primi distinti, puoi essere sicuro... altrimenti no.

oopss scusate mi sono distratto. Per farmi perdonare propongo un'altra soluzione. Se fosse $ y\ge (m+2) $ avremmo $ y^2\ge m^2+4m+4 $, che è ovviamente impossibile. Quindi $ y=m+1 $.
Sostituiamo e troviamo $ m=1,y=2 $. Questa volta può andare?Spero proprio di si....

$ m^2+3m=n^2 \implies (2m+3+2n)(2m+3-2n)=9 $..