Ricreativa ma non troppo
Ricreativa ma non troppo
Trovare le ultime due cifre (in notazione decimale) del numero $ 7^{7^{1000}} $
Dovrebbero essere 07.
$ 7^{\varphi(100)}\equiv7^{40}\equiv1\pmod{100} $
Esaminiamo l'esponente modulo 40
$ 7^{1000}\equiv49^{500}\equiv9^{500}\equiv81^{250}\equiv1^{250}\equiv1\pmod{40} $
Dunque $ 7^{1000}=40n+1 $, con n naturale
$ 7^{7^{1000}}\equiv7^{40n+1}\equiv7^{40n}\cdot7\equiv7\pmod{100} $
-edit-
Anticipato da Jordan, vedo che ho sbagliato dove sta l'errore?
$ 7^{\varphi(100)}\equiv7^{40}\equiv1\pmod{100} $
Esaminiamo l'esponente modulo 40
$ 7^{1000}\equiv49^{500}\equiv9^{500}\equiv81^{250}\equiv1^{250}\equiv1\pmod{40} $
Dunque $ 7^{1000}=40n+1 $, con n naturale
$ 7^{7^{1000}}\equiv7^{40n+1}\equiv7^{40n}\cdot7\equiv7\pmod{100} $
-edit-
Anticipato da Jordan, vedo che ho sbagliato dove sta l'errore?