Ricreativa ma non troppo

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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ndp15
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Ricreativa ma non troppo

Messaggio da ndp15 » 09 lug 2009, 14:05

Trovare le ultime due cifre (in notazione decimale) del numero $ 7^{7^{1000}} $

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jordan
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Messaggio da jordan » 09 lug 2009, 14:29

(7,100)=1, ord_100(7)|40, ord_40(7)|8|1000, 100|7^(7^1000)-1
The only goal of science is the honor of the human spirit.

pak-man
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Messaggio da pak-man » 09 lug 2009, 14:31

Dovrebbero essere 07.

$ 7^{\varphi(100)}\equiv7^{40}\equiv1\pmod{100} $

Esaminiamo l'esponente modulo 40
$ 7^{1000}\equiv49^{500}\equiv9^{500}\equiv81^{250}\equiv1^{250}\equiv1\pmod{40} $
Dunque $ 7^{1000}=40n+1 $, con n naturale

$ 7^{7^{1000}}\equiv7^{40n+1}\equiv7^{40n}\cdot7\equiv7\pmod{100} $

-edit-
Anticipato da Jordan, vedo che ho sbagliato :? dove sta l'errore?

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 lug 2009, 14:37

pak-man ha scritto:Anticipato da Jordan, vedo che ho sbagliato :? dove sta l'errore?
No è corretta :wink:

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 lug 2009, 14:40

jordan ha scritto:(7,100)=1, ord_100(7)|40, ord_40(7)|8|1000, 100|7^(7^1000)-1
Cos'è non ti andava più il latex :shock:
Comunque non ho capito il 3° e poi il 4° passaggio.

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jordan
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Messaggio da jordan » 09 lug 2009, 20:11

Si ho sbagliato a copiare, invece del -1 dovevo mettere -7 tutto qui, comunque è la stessa cosa di pakman
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