OliForum Matematico

Si provi che il polinomio $ \displaystyle~x^{2009}+2009x+1 $ ha una sola radice reale e che questa appartiene all'intervallo $ \displaystyle~(-1,0) $. Si dimostri inoltre che questa radice ha molteplicità 1.

Vediamo se riesco, sono insicuro sul punto della molteplicità...

Poiché la derivata $ p'(x)=2009x^{2008}+2009 $ è sempre positiva, ha solo una radice reale: se ne avesse più di una allora per il teorema di Rolle la derivata dovrebbe annullarsi in almeno un punto.

Poiché $ p(-1)=-2009<0 $ e $ p(0)=1>0 $, e una funzione polinomiale è continua, per il teorema di Bolzano esiste un punto nell'intervallo ]-1,0[ in cui il polinomio si annulla.

Se questa radice, diciamo k, avesse molteplicità m>1, allora $ p(x)=(x-k)^mq(x) $, dove $ \deg(q(x))\le2007 $. Se il grado di q(x) è dispari, allora esiste un'altra radice reale (assurdo). Se il grado di q(x) è pari...boh

Se fosse m>1, la derivata prima di p(x) si annullerebbe in k (si vede se la calcoli a partire dall'ultima forma in cui l'hai scritto), assurdo.

julio14 ha scritto:Se fosse m>1, la derivata prima di p(x) si annullerebbe in k (si vede se la calcoli a partire dall'ultima forma in cui l'hai scritto), assurdo.

Questa non la sapevo ancora...dunque se una radice r ha molteplicità m, allora tutte le derivate fino alla m-esima si dovrebbero annullare in r?

Beh si basta scrivere il polinomio rendendo evidente la molteplicità e poi derivare, ogni volta puoi raccogliere x-k elevato a una potenza minore.

julio14 ha scritto:Se fosse m>1, la derivata prima di p(x) si annullerebbe in k (si vede se la calcoli a partire dall'ultima forma in cui l'hai scritto), assurdo.

Scusate la mia ignoranza in materia, ma questo in soldoni vuol dire che essendo la derivata prima strettamente positiva la funzione è strettamente crescente e quindi iniettiva, e pertanto è impossibile che $ p(x)=0 $ per 2 valori di x giusto?

Bene! Ora scrivete una soluzione completamente elementare

Maioc92 ha scritto:

julio14 ha scritto:Se fosse m>1, la derivata prima di p(x) si annullerebbe in k (si vede se la calcoli a partire dall'ultima forma in cui l'hai scritto), assurdo.

Scusate la mia ignoranza in materia, ma questo in soldoni vuol dire che essendo la derivata prima strettamente positiva la funzione è strettamente crescente e quindi iniettiva, e pertanto è impossibile che $ p(x)=0 $ per 2 valori di x giusto?

No, x^3 è strettamente crescente, eppure la radice 0 non ha molteplicità 1. Fino a "strettamente positiva" sei ok, poi l'assurdo con "strettamente positiva" è dato dal fatto che la molteplicità >1 implica la derivata nulla in almeno un punto.

"derivata strettamente positiva" è più forte di "strettamente crescente"

julio14 ha scritto: No, x^3 è strettamente crescente, eppure la radice 0 non ha molteplicità 1. Fino a "strettamente positiva" sei ok, poi l'assurdo con "strettamente positiva" è dato dal fatto che la molteplicità >1 implica la derivata nulla in almeno un punto.

Si in effetti ero completamente fuori strada,perchè quello che ho scritto riguardava il primo punto ma non c'entrava niente con la molteplicità....ma quindi perchè sia m>1 la funzione deve tangere l'asse delle x?
Comunque ora ho ordinato il libro di analisi che dovrebbe arrivare tra 2 settimane circa cosi finalmente colmo un po' le grosse lacune che ho in questo campo....

FeddyStra ha scritto:"derivata strettamente positiva" è più forte di "strettamente crescente"

questo a dire il vero non l'ho capito.....

kn ha scritto:Bene! Ora scrivete una soluzione completamente elementare

Essendo somma di due strettamente crescenti (basta applicare la definizione) e di una costante, la funzione è strettamente crescente. p(-1)<0, quindi essendo crescente è sempre negativa prima di -1, idem con dopo 0 e positiva. Essendo di grado dispari, ha almeno una soluzione. Poiché p è strettamente negativo fino a -1, strettamente positivo da 0 in poi, e ha almeno una soluzione, essa è compresa tra 0 e 1. Passo quindi alla molteplicità.
Faccio una normale divisione fra polinomi:
$ $r(x)=\frac{p(x)}{x-k}=x^{2008}+kx^{2007}+k^2x^{2006}+...+k^{2007}x+k^{2008}+2009 $
edit: ops... thanks maioc
$ $r(k)=k^{2008}+k^{2008}+...+k^{2008}+2009 $
Ora, se k avesse molteplicità >1, r(k)=0, il che mi sembra un po' difficile.

Maioc92 ha scritto:Si in effetti ero completamente fuori strada,perchè quello che ho scritto riguardava il primo punto ma non c'entrava niente con la molteplicità....ma quindi perchè sia m>1 la funzione deve tangere l'asse delle x?

aspetta il libro di analisi poi capirai. (a btw, supponendo tu sia del '92, io sono del '90 e fino a quest'anno non ho mai saputo neanche cosa fosse una derivata, non è così tragico )

Maioc92 ha scritto:

FeddyStra ha scritto:"derivata strettamente positiva" è più forte di "strettamente crescente"

questo a dire il vero non l'ho capito.....

derivata strettamente positiva vuol dire che non è mai neanche nulla, mentre se la funzione è strettamente crescente è possibile anche che abbia derivata nulla

julio14 ha scritto:derivata strettamente positiva vuol dire che non è mai neanche nulla, mentre se la funzione è strettamente crescente è possibile anche che abbia derivata nulla

un esempio? Comunque grazie davvero per la pazienza e le spiegazioni

x^3, come avevo detto prima, è strettamente crescente e ha derivata nulla in 0

Maioc92, guarda che hai detto esatto.
Il fatto che il polinomio (funzione $ ~C^\infty $) abbia derivata strettamente positiva impone che, se c'e', ha una sola radice di moltiplicita' 1
(l'esponenziale non ha radici)

In analisi, se ben ricordo, si vede tale condizione vale in generale per tutte le funzioni $ ~C^\infty $ e quindi esprimibili localmente come serie di Taylor