Quesito 8 - maturità 2009

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 28 giu 2009, 00:31

julio14 ha scritto:
kn ha scritto:Bene! Ora scrivete una soluzione completamente elementare :twisted:
Essendo somma di due strettamente crescenti (basta applicare la definizione) e di una costante, la funzione è strettamente crescente. p(-1)<0, quindi essendo crescente è sempre negativa prima di -1, idem con dopo 0 e positiva. Essendo di grado dispari, ha almeno una soluzione. Poiché p è strettamente negativo fino a -1, strettamente positivo da 0 in poi, e ha almeno una soluzione, essa è compresa tra 0 e 1. Passo quindi alla molteplicità.
Faccio una normale divisione fra polinomi:
$ $r(x)=\frac{p(x)}{x-k}=x^{2008}-kx^{2007}+k^2x^{2006}-...-k^{2007}x+k^{2008}+2009 $
$ $r(k)=k^{2008}-k^{2008}+...+k^{2008}+2009=k^{2008}+2009 $
Ora, se k avesse molteplicità >1, r(k)=0, il che mi sembra un po' difficile.
bella!!!Solo 1 cosa:$ r(x) $ non è uguale a $ x^{2008}+kx^{2007}..... $?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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julio14
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Messaggio da julio14 » 28 giu 2009, 00:34

uh già non so più neanche fare la divisione
edit: sistemato

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 28 giu 2009, 00:39

julio14 ha scritto:uh già non so più neanche fare la divisione
edit: sistemato
tu sei più che scusato per una sottigliezza del genere.....vista l'ora poi siamo fusi tutti :roll:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Messaggio da Maioc92 » 28 giu 2009, 00:41

SkZ ha scritto:Maioc92, guarda che hai detto esatto.
Il fatto che il polinomio (funzione $ ~C^\infty $) abbia derivata strettamente positiva impone che, se c'e', ha una sola radice di moltiplicita' 1
(l'esponenziale non ha radici)

In analisi, se ben ricordo, si vede tale condizione vale in generale per tutte le funzioni $ ~C^\infty $ e quindi esprimibili localmente come serie di Taylor
si ma il fatto che sia giusto quel passaggio è una casualità, perchè io in realtà utilizzavo quell'informazione per i miei deliri successivi :oops:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Thebear
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Messaggio da Thebear » 28 giu 2009, 18:43

Scusate, ma non bastava scrivere a sistema $ y_1=x^{2009} $, $ y_2=-2009x-1 $, $ y_1=y_2 $, e far vedere che i due grafici hanno solo un punto in comune? Infatti la prima è una curva analoga alla cubica (solo molto più stretta), mentre la seconda è una retta passante per $ (0;-1) $ che ha "direzione" opposta alla curva (l'una va da SW a NE, l'altra da SE a NW).
Poi per determinare lo zero della funzione si poteva fare due passaggi del metodo di bisezione... Forse avrei avuto qualche problema in più sulla molteplicità.

PS: tutto ciò perché non so nulla di analisi... :oops:
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Messaggio da SkZ » 28 giu 2009, 19:49

direi che hai trovato la soluzione elementare
bravo :D
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Messaggio da Thebear » 28 giu 2009, 20:13

Siii!!! Mi sono finalmente riscattato dalla figuraccia dell'altra sera con i binomiali!!! 8)
Edoardo

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Messaggio da julio14 » 28 giu 2009, 22:52

Si beh ma tutto ciò presupporrebbe un po' di analisi, di quella che dice solo cose ovvie (ad intuito), robe sulla continuità etc.

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Messaggio da pak-man » 28 giu 2009, 23:50

julio14 ha scritto:Si beh ma tutto ciò presupporrebbe un po' di analisi, di quella che dice solo cose ovvie (ad intuito), robe sulla continuità etc.
Altrimenti come avrei fatto a dare parte della soluzione? :wink:

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Messaggio da jordan » 29 giu 2009, 00:45

f(a)<f(b) sse a<b e f(-1)<0<f(0) mi sembra la più elementare possibile.. comunque non ho letto tutti i messaggi sopra questo :roll:
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Messaggio da Ani-sama » 01 lug 2009, 02:52

SkZ ha scritto:[...] tutte le funzioni $ ~C^\infty $ e quindi esprimibili localmente come serie di Taylor
Attento, la condizione che tu esprimi è di analiticità, che è in generale più forte della $ C^\infty $!
...

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Messaggio da SkZ » 01 lug 2009, 03:47

la funzione analitica e' quella la cui serie di Taylor converge in ogni punto. Non so se serve questa condizione, o basta che valga l' "approssimazione locale".
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Messaggio da Ani-sama » 01 lug 2009, 23:31

La Wiki inglese riporta:
Wikipedia ha scritto:A function is analytic if and only if it is equal to its Taylor series in some neighborhood of every point.
Quindi, l'esistenza di tale "approssimazione locale" come dici tu è proprio, come ti dicevo, la definizione di funzione analitica: per ogni punto del dominio, esiste un intorno di quel punto tale che la tua funzione, in quell'intorno, si può esprimere come serie di Taylor centrata in quel punto. Cioè, l'analiticità è per definizione un concetto "locale".

Per inciso, vi sono funzioni tranquillamente $ C^\infty $ tali che la serie di Taylor centrata in certi punti diverge addirittura! La stessa arcotangente fuori da $ (-1,1) $, per dire.
...

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