2 equazioni in 3 variabili

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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spugna
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2 equazioni in 3 variabili

Messaggio da spugna » 03 mag 2009, 13:48

buon divertimento!!!

$ x^2 + xy + y^2 = 7 $
$ x^2 + xz + z^2 = 21 $
$ y^2 + yz + z^2 = 28 $

___________________________


$ x(x + y + z) = 6 - yz $
$ y(x + y + z) = 10 - xz $
$ z(x + y + z) = 15 - xy $

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jordan
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Messaggio da jordan » 03 mag 2009, 13:53

1- perchè l'hai postato qui?
2- x,y,z che dominio hanno?
3- sono due esercizi separati presumo..
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GioacchinoA
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Messaggio da GioacchinoA » 03 mag 2009, 19:28

Risolvo il primo

Sottraendo la $ (1) $ dalla $ (2) $ e la $ (2) $ dalla $ (3) $ ottengo:

$ \left\{\begin{matrix}(x+y+z)(z-y) = 14 , & \mbox{(4)} \\ (x+y+z)(y-x) = 7, & \mbox{(5)} \end{matrix}\right $

Confrontando la $ (4) $ e la $ (5) $ ottengo $ z=3y-2x(6) $

Sostituendo la $ (6) $ nella $ (2) $ e nella $ (3) $ ottengo:
$ \left\{\begin{matrix}x^2-3xy+3y^2 = 7 , & \mbox{(7)} \\ 4x^2-14xy+13y^2 = 28, & \mbox{(8)} \end{matrix}\right $

Sottraendo 4 volte la $ (7) $ dalla $ (8) $ ottengo:
$ y(y-2x) = 0 \Rightarrow y=0 \vee y=2x $

Se $ y=0 $ dalla $ (7) $ si ottiene $ z=-2x $ che sostituito nella $ (3) $ dà $ 4x^2 = 28 \Rightarrow x=\pm\sqrt{7} $
Quindi le prime due soluzioni sono $ (\sqrt{7},0,-2\sqrt{7}) $ e $ (-\sqrt{7},0,2\sqrt{7}) $

Se $ y=2x $ dalla $ (7) $ si ottiene $ z=4x $ che sostituito nella $ (3) $ dà $ 4x^2+8x^2+16x^2 = 28 \Rightarrow x=\pm\1 $
Quindi le altre due soluzioni sono $ (1,2,4) $ e $ (-1,-2,-4) $

Ricapitolando le 4 soluzioni sono $ (\sqrt{7},0,-2\sqrt{7}) $;$ (-\sqrt{7},0,2\sqrt{7}) $;$ (1,2,4) $;$ (-1,-2,-4) $

Il secondo:
$ \left\{\begin{matrix}x^2+xy+xz+yz = 6, & \mbox{(1)} \\ y^2+xy+xz+yz=10, & \mbox{(2)} \\ z^2+xy+xz+yz=15, & \mbox{(3)} \end{matrix}\right $

Aggiungo la $ (1) $ alla $ (2) $ , la $ (2) $ alla $ (3) $ , la $ (3) $ alla $ (1) $

$ \left\{\begin{matrix}(x+y)(x+y+2z) = 16, & \mbox{(4)} \\ (y+z)(2x+y+z) = 25, & \mbox{(5)} \\ (x+z)(x+2y+z) = 21, & \mbox{(6)} \end{matrix}\right $

Sottraggo la $ (1) $ alla $ (2) $ , la $ (2) $ alla $ (3) $ , la $ (1) $ alla $ (3) $

Ottengo:
$ \left\{\begin{matrix}(y+x)(y-x) = 4, & \mbox{(7)} \\ (z+y)(z-y) = 5, & \mbox{(8)} \\ (z+x)(z-x) = 9, & \mbox{(9)} \end{matrix}\right $

Confrontando la $ (4) $ e la $ (7) $ ; la $ (5) $ e la $ (8) $ ; la $ (6) $ e la $ (9) $ ottengo:

$ \left\{\begin{matrix}16y-16x = 4x+4y+8z \\ 25z-25y = 10x+5y+5z \\ 21z-21x = 9x+18y+9z \end{matrix}\right $

Risolvendo questo sistema si ottiene $ x=0 \wedge (3y-2z = 0) \Rightarrow (y=2/3z) $
Andando a sostituire tutto nella $ (1) $ ottengo
$ 2/3z^2 = 6 \Rightarrow z^2 = 9 \Rightarrow z=\pm3 $

le soluzioni sono due e sono $ (0;2;3) $ e $ (0;-2;-3) $

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