Problema pentagono

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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GioacchinoA
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Problema pentagono

Messaggio da GioacchinoA » 02 mag 2009, 23:51

Ecco a voi un bel problema di geometria(neanche tanto complicato):

Sia $ ABCDE $ un pentagono che abbia:
$ $\overline{AB} = \overline{AE} = \overline{CD} = 1$ $
$ $\angle ABC = \angle DEA = 90°$ $
$ $\overline{BC}+\overline{DE}=1$ $

Trovare l'area del pentagono.

Divertitevi!

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 03 mag 2009, 11:20

1?

GioacchinoA
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Messaggio da GioacchinoA » 03 mag 2009, 12:27

Alex90 ha scritto:1?
Si è giusto.
Ma il procedimento? :)

spugna
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Messaggio da spugna » 09 mag 2009, 15:36

GioacchinoA ha scritto:Si è giusto.
Ma il procedimento? :)
Vorrà dire che lo scriverò io:

si prolunghi $ DE $ (dalla parte di $ E $) di un segmento $ \overline{EC'} \cong \overline{BC}. $ I triangoli $ AEC' $ e $ ABC $ hanno cohgruenti:
-$ \overline{EC'} $ e $ \overline{BC} $per costruzione
-$ \overline{AE} $ e $ \overline{AC} $,entrambi di lunghezza pari a $ 1 $ per ipotesi
-gli angoli retti $ \widehat{ABC} $ e $ \widehat{AEC'} $.
Per il 1° criterio di congruenza dei triangoli, $ ABC \cong AEC' $ (quindi $ S(ABC) = S(AEC'). $ Dato che $ C' $ si trova sul prolungamento di $ \overline{DE} $,allora $ \widehat{DEC'}= \pi, $ da cui $ C'D = EC' + DE. $ Ma $ \overline{EC'} \cong \overline{BC} $ per costruzione e $ BC + DE = 1 $ per ipotesi: quindi $ C'D = EC' + DE = BC + DE = 1. $ I triangoli $ ACD $ e $ AC'D $ hanno:
-il lato $ \overline{AD} $ in comune
-i lati $ \overline{CD} $ e $ \overline{C'D} $ congruenti, entrambi di lunghezza pari a $ 1 $, il primo per ipotesi e il secondo per dimostrazione
-i lati $ \overline{AC} $ e $ \overline{AC'} $, perchè sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli congruenti per dimostrazione ($ ABC $ e $ AC'D $).
Per il 3° criterio di congruenza dei triangoli,$ ACD \cong AC'D \Rightarrow S(ACD)=S(AC'D). $ Ma $ S(AC'D) = S(ADE) + S(AEC') $ e $ S(AEC’) = S(ABC), $ da cui $ S(ACD) = S(AC’D) = S(ADE) + S(AEC’) = S(ADE) + S(ABC). $ L’area del pentagono è $ S(ABC) + S(ADE) + S(ACD) = S(ABC) + S(ADE) + (S(ABC) + S(ADE)) = 2(S(ABC) + S(ADE)). $
Sia $ a $ la lunghezza di $ \overline{BC}. $ Allora, per ipotesi, $ DE = 1 - a. $ Dato che $ ABC $ è rettangolo,la sua area è $ \dfrac{AB \cdotAE\cdot BC}{2} = \dfrac{1 \cdotAE\cdot a}{2} = \dfrac{1}{2}a. $ Mediante lo stesso ragionamento si ha $ S(ADE) = \dfrac{AE \cdotAE\cdot DE}{2} = \dfrac{1(1 - a)}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}a $. Ora si può concludere che $ S(ADE)) = 2(S(ABC) + S(ADE)) = 2(\dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}a) = 2 \cdotAE\cdot \dfrac{1}{2} = 1 $

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