27-28-29-30-31-32 cavalli sulla scacchiera

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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iademarco
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27-28-29-30-31-32 cavalli sulla scacchiera

Messaggio da iademarco » 13 apr 2009, 20:46

Ho postato qui questo simpatico problemino, poichè la mia soluzione non è proprio olimpica :lol:
Quante sono le possibili disposizioni rispettivamente di 32-31-30-29-28-27 (se si vuole si può anche continuare, ma non mi va di fare troppi calcoli :roll: ) cavalli su una regolare scacchiera 8x8, in modo che essi non siano in reciproca presa? ps: l'ho pensato io questo problema, quindi non posso garantire per la soluzione :lol:
spero sia la stessa che posterete voi :D

GioacchinoA
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Messaggio da GioacchinoA » 13 apr 2009, 21:31

Bè ricordando che quando i cavalli si muovono il colore della casella di arrivo è diverso dal colore della casella di partenza(ecco a che serve fare i corsi di scacchi :lol: ) possiamo posizionare i cavalli facendo in modo che stiano tutti su caselle di uno stesso colore(così siamo sicuri che se si muovono vanno in una casella di colore diverso in cui , sicuramente, non ci sono altri cavalli). E siccome le caselle ,su una regolare scacchiera $ 8 \cdot 8 $,sono $ 32 $ nere e $ 32 $ bianche, dovendo posizionare $ 32 $ cavalli in modo che non siano in reciproca presa lo puoi fare in $ 2 $ modi diversi(coprendo prima tutte le caselle bianche e poi tutte quelle nere) , dovendo posizionare $ 31 $ cavalli lo puoi fare in $ 2 \cdot \binom{32}{31} = 64 $ modi , $ 30 $ cavalli lo puoi fare in $ 2 \cdot \binom{32}{30} = 992 $ modi and so on. I problemi iniziano a sorgere quando i cavalli diventano di meno.
Infatti una casella è controllata al minimo da $ 3 $ cavalli ciò vuol dire che se i cavalli sono meno in una configurazione in cui sono su caselle bianche ci può anche essere un cavallo su una casa nera(e le cose iniziano un po' a complicarsi)
Intanto la prima parte va bene?ù

Ok ho letto... ci devo pensare
Ultima modifica di GioacchinoA il 14 apr 2009, 14:06, modificato 1 volta in totale.

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iademarco
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Messaggio da iademarco » 13 apr 2009, 23:07

Va bene solamente la risposta per 32 cavalli...attenzione, i problemi iniziano a sorgere già con 31 cavalli :wink:
ps: GioacchinoA ha dimostrato che per 32 cavalli le possibili disposizioni sono almeno 2, e non esattamente 2, come mi ha fatto giustamente notare jordan :D

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iademarco
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Messaggio da iademarco » 25 apr 2009, 20:31

Do un piccolo hint: provate a scrivere in tutte le caselle bianche il numero di caselle nere da cui è possibili raggiungere le caselle bianche iniziali con un cavallo. Ad esempio nelle caselle bianche al vertice, bisogna scrivere 2. Ora bisogna farsi venire solamente qualche piccola idea :wink:
"Il lemma fondamentale: se vi danno un esercizio è perchè potete farlo; se potete farlo è perchè è proprio facile; se è proprio facile è perchè servono delle cose che sapete; le cose che sapete sono pochissime, quindi avete da cercare in un insieme piccolissimo di cose" Michele Barsanti


[quote="julio14"]
jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in [tex]\mathbb{N}[/tex][/quote]

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