errore nascosto

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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spugna
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errore nascosto

Messaggio da spugna »

leggete questa equazione

$ \sqrt{x}-\sqrt{x-3}=2 $
$ (\sqrt{x}-\sqrt{x-3})^2=2^2 $ (questa equazione si potrebbe risolvere anche partendo da $ \sqrt{x}-\sqrt{x-3}=-2 $,ma sarebbe impossibile perchè per ogni $ x>3 $ si ha $ \sqrt{x}>\sqrt{x-3} $,quindi $ \sqrt{x}-\sqrt{x-3}>0>-2 $;di conseguenza questa equazione è equivalente a quella di partenza)
$ x+(x-3)-2\sqrt{x(x-3)}=4 $
$ (2x-3)-2\sqrt{x(x-3)}=4 $
$ -2\sqrt{x(x-3)}=4-(2x-3) $
$ [-2\sqrt{x(x-3)}]^2=(7-2x)^2 $
$ 4x(x-3)=49-28x+4x^2 $
$ (4x^2)-12x=49-28x+(4x^2) $
$ -12x=49-28x $
$ -12x+28x=49 $
$ 16x=49 $
$ x=49/16 $

quando faccio la verifica mi viene

$ \sqrt{49/16}-\sqrt{(49/16)-3}=2 $
$ 7/4-\sqrt{(49-3*16)/16}=2 $
$ 7/4-\sqrt{1/16}=2 $
$ 7/4-1/4=2 $
$ 6/4=2 $
$ 3/2=2 $

dove ho sbagliato? Non riesco a capirlo!!!!!
Ultima modifica di spugna il 09 apr 2009, 20:30, modificato 1 volta in totale.
spugna
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Messaggio da spugna »

scusate se vi ho fatto perdere tempo:l'ho capito solo adesso
Jacobi
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Messaggio da Jacobi »

i calcoli sn fatti tt bn, nn c'e' nessun errore: il fatto ke la verifica ti dia una contraddizione vuol dire soltanto ke quello ke qla ke hai trovato nn e soluzione x l'equazione di partenza (altrimenti a ke servirebbe la verifica :wink:).

PS: tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza, x qsto si dv fare, alla fine, la verifica (infatti puo pure succedere, cm in qsto caso, ke l'equazione di partenza nn abbia soluzioni, mentre qla finale abbia delle soluzioni)
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spugna
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Re: errore nascosto

Messaggio da spugna »

Jacobi ha scritto:tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza
perchè no? Dimmi due numeri uguali i cui quadrati sono diversi

comunque adesso ho capito:devo considerare $ \sqrt{1/16}=-1/4 $,che in effetti è vero

Così viene
$ 7/4-(-1/4)=7/4+1/4=8/4=2 $
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Haile
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Re: errore nascosto

Messaggio da Haile »

spugna ha scritto:
Jacobi ha scritto:tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza
perchè no? Dimmi due numeri uguali i cui quadrati sono diversi
$ $x = 2$ $

ha 1 sola soluzione (2).

$ $x^2 = 2^2$ $

ha due soluzioni: (-2) e (2)

Poichè le due equazioni hanno diverse soluzioni, non sono equivalenti. Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza. Da cui la necessità di una verifica.

EDIT:

e comunque $ $\sqrt{\frac{49}{16}} - \sqrt{\frac{49}{16} - 3}$ $ non fa 2!
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

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pak-man
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Re: errore nascosto

Messaggio da pak-man »

Haile ha scritto:Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza
Infatti elevando al quadrato le soluzioni raddoppiano
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Haile
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Re: errore nascosto

Messaggio da Haile »

pak-man ha scritto:
Haile ha scritto:Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza
Infatti elevando al quadrato le soluzioni raddoppiano
Ora aspettiamo che arrivi Tibor a chiederti di dimostrarlo.
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pak-man
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Re: errore nascosto

Messaggio da pak-man »

Haile ha scritto:
pak-man ha scritto:
Haile ha scritto:Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza
Infatti elevando al quadrato le soluzioni raddoppiano
Ora aspettiamo che arrivi Tibor a chiederti di dimostrarlo.
:lol:

*se ne va furtivo*
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SkZ
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Re: errore nascosto

Messaggio da SkZ »

spugna ha scritto:
Jacobi ha scritto:tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza
perchè no? Dimmi due numeri uguali i cui quadrati sono diversi

comunque adesso ho capito:devo considerare $ \sqrt{1/16}=-1/4 $,che in effetti è vero

Così viene
$ 7/4-(-1/4)=7/4+1/4=8/4=2 $
1) che invece e' falso! :evil:
Le radici sono solo positive!
volete ricordarvelo?

2) prima di elevare al quadrato (o equivalente come altra potenza pari) bisogna assicurarsi che entrambi i termini siano positivi, altrimenti $ ~2=-2 $


3) non ti torna perche' $ ~\sqrt{x}-\sqrt{x-3}\leq\sqrt{3}\;\forall x\geq3 $
non assume mai il valore 2
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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spugna
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Re: errore nascosto

Messaggio da spugna »

SkZ ha scritto: 1) che invece e' falso! :evil:
Le radici sono solo positive!
volete ricordarvelo?
Me l'ero completamente scordato!!! E pensare che spero di andare alla finale di mirabilandia del kangourou!!!!!!!!!!!!

Si può cancellare questo topic? Mi vergogno troppo al pensiero che possono leggerlo tutti!!!
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

No
Perche' e' il piu' bell'esempio di equazione con risultato non concorde causa errore non palese
Ne hanno postato altri che erano di solito banali (a parte quello delle radici di -1 che e' simile)

E' un ottimo esercizio di caccia all'errore.
A proposito, i nostri giovani lettori hanno capito dov'e' l'errore in quei passaggi?
astenersi bravi e univ (che se non lo trovano saranno presi a frustate)
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exodd
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Re: errore nascosto

Messaggio da exodd »

spugna ha scritto: $ -2\sqrt{x(x-3)}=4-(2x-3) $
$ [-2\sqrt{x(x-3)}]^2=(7-2x)^2 $
è qui l'errore!!!
prima di elevare al quadrato bisogna fare le condizioni di esistenza:
$ 2\sqrt{x(x-3)}=2x-7 $
2x-7>0
x>7/2>49/16
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
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