errore nascosto

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
Rispondi
spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

errore nascosto

Messaggio da spugna » 07 apr 2009, 19:24

leggete questa equazione

$ \sqrt{x}-\sqrt{x-3}=2 $
$ (\sqrt{x}-\sqrt{x-3})^2=2^2 $ (questa equazione si potrebbe risolvere anche partendo da $ \sqrt{x}-\sqrt{x-3}=-2 $,ma sarebbe impossibile perchè per ogni $ x>3 $ si ha $ \sqrt{x}>\sqrt{x-3} $,quindi $ \sqrt{x}-\sqrt{x-3}>0>-2 $;di conseguenza questa equazione è equivalente a quella di partenza)
$ x+(x-3)-2\sqrt{x(x-3)}=4 $
$ (2x-3)-2\sqrt{x(x-3)}=4 $
$ -2\sqrt{x(x-3)}=4-(2x-3) $
$ [-2\sqrt{x(x-3)}]^2=(7-2x)^2 $
$ 4x(x-3)=49-28x+4x^2 $
$ (4x^2)-12x=49-28x+(4x^2) $
$ -12x=49-28x $
$ -12x+28x=49 $
$ 16x=49 $
$ x=49/16 $

quando faccio la verifica mi viene

$ \sqrt{49/16}-\sqrt{(49/16)-3}=2 $
$ 7/4-\sqrt{(49-3*16)/16}=2 $
$ 7/4-\sqrt{1/16}=2 $
$ 7/4-1/4=2 $
$ 6/4=2 $
$ 3/2=2 $

dove ho sbagliato? Non riesco a capirlo!!!!!
Ultima modifica di spugna il 09 apr 2009, 20:30, modificato 1 volta in totale.

spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Messaggio da spugna » 07 apr 2009, 19:31

scusate se vi ho fatto perdere tempo:l'ho capito solo adesso

Jacobi
Messaggi: 227
Iscritto il: 08 mar 2007, 16:29

Messaggio da Jacobi » 07 apr 2009, 19:39

i calcoli sn fatti tt bn, nn c'e' nessun errore: il fatto ke la verifica ti dia una contraddizione vuol dire soltanto ke quello ke qla ke hai trovato nn e soluzione x l'equazione di partenza (altrimenti a ke servirebbe la verifica :wink:).

PS: tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza, x qsto si dv fare, alla fine, la verifica (infatti puo pure succedere, cm in qsto caso, ke l'equazione di partenza nn abbia soluzioni, mentre qla finale abbia delle soluzioni)
MIND TORNA CON NOI

spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Re: errore nascosto

Messaggio da spugna » 07 apr 2009, 19:52

Jacobi ha scritto:tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza
perchè no? Dimmi due numeri uguali i cui quadrati sono diversi

comunque adesso ho capito:devo considerare $ \sqrt{1/16}=-1/4 $,che in effetti è vero

Così viene
$ 7/4-(-1/4)=7/4+1/4=8/4=2 $

Avatar utente
Haile
Messaggi: 515
Iscritto il: 30 mag 2008, 14:29
Località: Bergamo

Re: errore nascosto

Messaggio da Haile » 07 apr 2009, 20:03

spugna ha scritto:
Jacobi ha scritto:tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza
perchè no? Dimmi due numeri uguali i cui quadrati sono diversi
$ $x = 2$ $

ha 1 sola soluzione (2).

$ $x^2 = 2^2$ $

ha due soluzioni: (-2) e (2)

Poichè le due equazioni hanno diverse soluzioni, non sono equivalenti. Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza. Da cui la necessità di una verifica.

EDIT:

e comunque $ $\sqrt{\frac{49}{16}} - \sqrt{\frac{49}{16} - 3}$ $ non fa 2!
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

pak-man
Messaggi: 313
Iscritto il: 07 giu 2008, 18:19

Re: errore nascosto

Messaggio da pak-man » 07 apr 2009, 20:13

Haile ha scritto:Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza
Infatti elevando al quadrato le soluzioni raddoppiano

Avatar utente
Haile
Messaggi: 515
Iscritto il: 30 mag 2008, 14:29
Località: Bergamo

Re: errore nascosto

Messaggio da Haile » 07 apr 2009, 20:16

pak-man ha scritto:
Haile ha scritto:Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza
Infatti elevando al quadrato le soluzioni raddoppiano
Ora aspettiamo che arrivi Tibor a chiederti di dimostrarlo.
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

pak-man
Messaggi: 313
Iscritto il: 07 giu 2008, 18:19

Re: errore nascosto

Messaggio da pak-man » 07 apr 2009, 20:18

Haile ha scritto:
pak-man ha scritto:
Haile ha scritto:Quindi elevando al quadrato NON ottieni un'equazione equivalente a quella di partenza
Infatti elevando al quadrato le soluzioni raddoppiano
Ora aspettiamo che arrivi Tibor a chiederti di dimostrarlo.
:lol:

*se ne va furtivo*

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Re: errore nascosto

Messaggio da SkZ » 07 apr 2009, 21:13

spugna ha scritto:
Jacobi ha scritto:tieni conto ke elevando al quadrato ambo i membri di un equazione nn ottieni un equazione equivalente a qla di partenza
perchè no? Dimmi due numeri uguali i cui quadrati sono diversi

comunque adesso ho capito:devo considerare $ \sqrt{1/16}=-1/4 $,che in effetti è vero

Così viene
$ 7/4-(-1/4)=7/4+1/4=8/4=2 $
1) che invece e' falso! :evil:
Le radici sono solo positive!
volete ricordarvelo?

2) prima di elevare al quadrato (o equivalente come altra potenza pari) bisogna assicurarsi che entrambi i termini siano positivi, altrimenti $ ~2=-2 $


3) non ti torna perche' $ ~\sqrt{x}-\sqrt{x-3}\leq\sqrt{3}\;\forall x\geq3 $
non assume mai il valore 2
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

spugna
Messaggi: 421
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Re: errore nascosto

Messaggio da spugna » 09 apr 2009, 12:04

SkZ ha scritto: 1) che invece e' falso! :evil:
Le radici sono solo positive!
volete ricordarvelo?
Me l'ero completamente scordato!!! E pensare che spero di andare alla finale di mirabilandia del kangourou!!!!!!!!!!!!

Si può cancellare questo topic? Mi vergogno troppo al pensiero che possono leggerlo tutti!!!

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 09 apr 2009, 14:37

No
Perche' e' il piu' bell'esempio di equazione con risultato non concorde causa errore non palese
Ne hanno postato altri che erano di solito banali (a parte quello delle radici di -1 che e' simile)

E' un ottimo esercizio di caccia all'errore.
A proposito, i nostri giovani lettori hanno capito dov'e' l'errore in quei passaggi?
astenersi bravi e univ (che se non lo trovano saranno presi a frustate)
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Re: errore nascosto

Messaggio da exodd » 10 apr 2009, 11:30

spugna ha scritto: $ -2\sqrt{x(x-3)}=4-(2x-3) $
$ [-2\sqrt{x(x-3)}]^2=(7-2x)^2 $
è qui l'errore!!!
prima di elevare al quadrato bisogna fare le condizioni di esistenza:
$ 2\sqrt{x(x-3)}=2x-7 $
2x-7>0
x>7/2>49/16
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

Rispondi