Gruppi

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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francescodd
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Gruppi

Messaggio da francescodd » 18 gen 2009, 23:27

Se G è un gruppo di ordine pari, dimostrare che esiste un elemento a in G diverso dall' elemento neutro tale che a^2=e (elemento neutro)

io ho utilizzato il teorema di lagrange per dimostrarlo, ma vorrei sapere se esiste una dimostrazione che non faccia uso di tale teorema. L' esercizio è tratto dall' Herstein e fino a quel punto il libro aveva spiegato solo cosa era un gruppo. grazie

Zok
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Messaggio da Zok » 19 gen 2009, 00:27

C'è una maniera molto elegante per farlo usando solo l'endomorfismo $ \displaystyle \phi: x \to x^{-1} $ (che è un automorfismo $ \displaystyle \Longleftrightarrow $ G è abeliano, prove it!).
Se ogni elemento di G fosse mandato in un elemento diverso da se stesso avremmo, immaginiamo di "accoppiare" ogni elemento con la sua immagine: otterremo così un numero pari di elementi.
Però $ \displaystyle \phi(e)=e $ e siccome G ha ordine pari, deve necessariamente esistere un altro elemento $ \displaystyle a $ che è l'inverso di se stesso, cioè tale che $ \displaystyle a^2=e $.

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gattovince
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Messaggio da gattovince » 21 gen 2009, 02:02

endomorfismo $ \displaystyle \phi: x \to x^{-1} $
Scusate se mi impiccio, ma credo che $ \phi $ non sia un endomorfismo, se non in gruppi abeliani (in cui è anche un automorfismo); infatti in un gruppo generico $ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} $. Però $ \phi $ è una funzione bigettiva e quindi la dimostrazione va benissimo lo stesso!!

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