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Diciamo che un rettangolo è "irrazionale" se entrambi i suoi lati hanno lunghezza irrazionale. Provare che se un rettangolo irrazionale viene piastrellato con un numero finito di sottorettangoli, almeno uno tra questi è irrazionale.

Ok. Un hint che è buona parte della soluzione:
immaginare il rettangolo su una scacchiera con caselle di lato opportunamente scelto e ragionare per assurdo

trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò

exodd ha scritto:trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò

problema di basilea:
$ \displaystyle\sum_{n=1} ^ {\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} $


mi sembra di aver letto che le serie siano state introdotte proprio per questo scopo.

mi sa tanto che i rettangoli devono essere finiti, se no non credo ci siano problemi a trovare una serie adatta allo scopo (sottolineo il "credo", non mi metto a pensarci)... cmq @exodd il problema chiede che un rettangolo sia irrazionale, che da definizione è un rettangolo con due lati irrazionali, il fatto che ci sia almeno un rettangolo con almeno un lato irrazionale è abbastanza banale... dubito che rand abbia preso una così forte botta in testa da chiedere un somma finita di razionali che dia un irrazionale

Forse il termine "piastrellato" è ambiguo. Intendo che il rettangolo grande è partizionato in rettangoli piccoli che hanno i loro lati paralleli a quelli del rettangolo grande. Non necessariamente sono tutti uguali.

exodd ha scritto:trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò

Conclude niente, i rettangoli a differenza dei segmenti si estendono su due dimensioni .

rand ha scritto:Forse il termine "piastrellato" è ambiguo. Intendo che il rettangolo grande è partizionato in rettangoli piccoli che hanno i loro lati paralleli a quelli del rettangolo grande. Non necessariamente sono tutti uguali.

exodd ha scritto:trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò

Conclude niente, i rettangoli a differenza dei segmenti si estendono su due dimensioni .

si, ma ognuna dimensione può essere intesa come segmento, e quindi somma di (in)finiti (ormai non ho capito + se intendevi un num finito o infinito di rettangoli) segmenti, cioè le relative dimensioni dei sotto-rettangoli

Mi sembra di parlare ai muri... exodd, è ovvio che c'è almeno un rettangolo con almeno una dimensione irrazionale! Il problema è che deve esistere un rettangolo con ENTRAMBE le dimensioni irrazionali, e questo non è così banale.

solution

supponiamo che il retangolo sia piastrellato a scacchiera
visto che il rettangolo è irrazionale, allora almeno una piastrella ha un lato irrazionale sulla base , e tutte le piastrelle che sono sopra questo avranno la base irrazionale.
Lo stesso vale per l' altezza.
Allora le due rette perpendicolari rispetto a questi segmenti irrazionali si incontreranno in un rettangolino che avrà tutte le dimensioni irrazionali.

Desmo90 ha scritto:supponiamo che il retangolo sia piastrellato a scacchiera

Non ho ancora provato, ma sei sicuro che funziona anche quando non è piastrellato a scacchiera?

mod_2 ha scritto:

Desmo90 ha scritto:supponiamo che il retangolo sia piastrellato a scacchiera

Non ho ancora provato, ma sei sicuro che funziona anche quando non è piastrellato a scacchiera?

già, avevo letto male il problema e pensavo chiedesso solo per scacchiere.

adesso appena riesco a formalizzare il metodo per non scacchiere lo posto

se il rettangolo non è a scacchiera, mi basta prolungare i lati di ogni rettangolino, per giungere di nuovo ad una scacchiera.

Rifaccio le considerazioni di prima e trovo il nuovo rettangolino irrazionale.
Ora cancello tutte le linee traciatte per fare la scacchiera.
Facendo le proiezioni dei lati di questo rettangolino si trova sempre un rettangolo che contiene sia l' altezza sia la base. Questo avrà tutte le dimensioni irrazionali

E andiamo... esiste una soluzione funzionante, semplice e carina .