Rettangoli irrazionali

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rand
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Rettangoli irrazionali

Messaggio da rand » 07 lug 2008, 14:18

Diciamo che un rettangolo è "irrazionale" se entrambi i suoi lati hanno lunghezza irrazionale. Provare che se un rettangolo irrazionale viene piastrellato con un numero finito di sottorettangoli, almeno uno tra questi è irrazionale.

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rand
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Messaggio da rand » 09 lug 2008, 14:38

Ok. Un hint che è buona parte della soluzione:
immaginare il rettangolo su una scacchiera con caselle di lato opportunamente scelto e ragionare per assurdo

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exodd
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Messaggio da exodd » 10 lug 2008, 11:54

trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò :wink:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Desmo90
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Messaggio da Desmo90 » 10 lug 2008, 12:20

exodd ha scritto:trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò :wink:
problema di basilea:
$ \displaystyle\sum_{n=1} ^ {\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} $


mi sembra di aver letto che le serie siano state introdotte proprio per questo scopo. :wink:

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julio14
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Messaggio da julio14 » 10 lug 2008, 14:04

mi sa tanto che i rettangoli devono essere finiti, se no non credo ci siano problemi a trovare una serie adatta allo scopo (sottolineo il "credo", non mi metto a pensarci)... cmq @exodd il problema chiede che un rettangolo sia irrazionale, che da definizione è un rettangolo con due lati irrazionali, il fatto che ci sia almeno un rettangolo con almeno un lato irrazionale è abbastanza banale... dubito che rand abbia preso una così forte botta in testa da chiedere un somma finita di razionali che dia un irrazionale

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rand
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Messaggio da rand » 10 lug 2008, 14:31

Forse il termine "piastrellato" è ambiguo. Intendo che il rettangolo grande è partizionato in rettangoli piccoli che hanno i loro lati paralleli a quelli del rettangolo grande. Non necessariamente sono tutti uguali.
exodd ha scritto:trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò :wink:
Conclude niente, i rettangoli a differenza dei segmenti si estendono su due dimensioni :wink:.

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exodd
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Messaggio da exodd » 10 lug 2008, 20:21

rand ha scritto:Forse il termine "piastrellato" è ambiguo. Intendo che il rettangolo grande è partizionato in rettangoli piccoli che hanno i loro lati paralleli a quelli del rettangolo grande. Non necessariamente sono tutti uguali.
exodd ha scritto:trova un numero irrazionale che sia somma di più numeri razionali e forse poi ti risponderò :wink:
Conclude niente, i rettangoli a differenza dei segmenti si estendono su due dimensioni :wink:.
si, ma ognuna dimensione può essere intesa come segmento, e quindi somma di (in)finiti (ormai non ho capito + se intendevi un num finito o infinito di rettangoli) segmenti, cioè le relative dimensioni dei sotto-rettangoli :D
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Messaggio da julio14 » 10 lug 2008, 21:21

Mi sembra di parlare ai muri... exodd, è ovvio che c'è almeno un rettangolo con almeno una dimensione irrazionale! Il problema è che deve esistere un rettangolo con ENTRAMBE le dimensioni irrazionali, e questo non è così banale.

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Messaggio da Desmo90 » 11 lug 2008, 12:00

solution

supponiamo che il retangolo sia piastrellato a scacchiera
visto che il rettangolo è irrazionale, allora almeno una piastrella ha un lato irrazionale sulla base , e tutte le piastrelle che sono sopra questo avranno la base irrazionale.
Lo stesso vale per l' altezza.
Allora le due rette perpendicolari rispetto a questi segmenti irrazionali si incontreranno in un rettangolino che avrà tutte le dimensioni irrazionali.

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Messaggio da mod_2 » 11 lug 2008, 12:10

Desmo90 ha scritto:supponiamo che il retangolo sia piastrellato a scacchiera
Non ho ancora provato, ma sei sicuro che funziona anche quando non è piastrellato a scacchiera?
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Messaggio da Desmo90 » 11 lug 2008, 12:23

mod_2 ha scritto:
Desmo90 ha scritto:supponiamo che il retangolo sia piastrellato a scacchiera
Non ho ancora provato, ma sei sicuro che funziona anche quando non è piastrellato a scacchiera?
già, avevo letto male il problema e pensavo chiedesso solo per scacchiere.

adesso appena riesco a formalizzare il metodo per non scacchiere lo posto

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Messaggio da Desmo90 » 11 lug 2008, 12:39

se il rettangolo non è a scacchiera, mi basta prolungare i lati di ogni rettangolino, per giungere di nuovo ad una scacchiera.

Rifaccio le considerazioni di prima e trovo il nuovo rettangolino irrazionale.
Ora cancello tutte le linee traciatte per fare la scacchiera.
Facendo le proiezioni dei lati di questo rettangolino si trova sempre un rettangolo che contiene sia l' altezza sia la base. Questo avrà tutte le dimensioni irrazionali
Ultima modifica di Desmo90 il 13 lug 2008, 15:27, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da rand » 11 lug 2008, 20:53

E andiamo... esiste una soluzione funzionante, semplice e carina . :wink:

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