Punto unito

[killing_buddha]

Smanettando con la calcolatrice ho notato una cosa interessante
$ \cos(1) = 0.540302\\ \cos\cos(1) = 0.857553...\\ \cos\cos\cos(1) = 0.65429... $

se vado avanti (l'ho poi rifatto con Mathematica, per chi conosce ho scritto

Codice: Seleziona tutto

Table[{k, Nest[Cos,1.,k]},{k,0,1000}];
ListPlot[%]

che vuol dire? come si fa a trovare il valore preciso e non approssimato del valore su cui si stabilizza la successione
cos(cos(cos(...cos(1))...))
?

[edriv]

Io non ne ho idea, però posso fare qualche osservazione:

- non è difficile fare vedere che la successione converge
- è altrettanto facile notare che, se x è il suo limite, allora x soddisfa:
$ \displaystyle \cos x = x $

poi chiedere qual è il valore preciso e non approssimato per me non ha nessun senso... chiedersi se x è razionale avrebbe senso, ma non penso abbia una risposta facile.

Il fatto è che cos cos x non ha un gran senso come funzione. Questo perchè calcolarla vuol dire "confondere misure di angoli con misure di segmenti" e non si sa quanto possano andare d'accordo... per convincerti che non è una bella funzione prova integrarla su integrator.

[EvaristeG]

Beh, sul senso della funzione non sarei così categorico:
formalmente, $ \cos : \mathbb{R}\to [-1,1] $ è un'onestissima funzione che non c'entra nulla con segmenti e angoli, ma è semplicemente la parte reale della funzione $ x\mapsto e^{ix} $.
Non è che faccia molto problema a comporla con se stessa...semplicemente, appunto, il limite è la soluzione di $ \cos x=x $ che non è un granché come numero...

[killing_buddha]

Tra l'altro ho trovato che nel manuale di Mathematica viene riportato proprio questo esempio

Codice: Seleziona tutto

FindRoot[Cos[x] == x, {x, 0}]
{x -> 0.739085}

la cosa però mi interessa, come si fa a mostrare che la successione converge? Si può fare lo stesso anche con \sin(x) = x?

[hydro]

la cosa però mi interessa, come si fa a mostrare che la successione converge? Si può fare lo stesso anche con \sin(x) = x?

Esiste una simpatica condizione sufficiente, dicasi teorema di Banach, che recita la seguente:

sia $ g(x) \in C^1([a,b]) $ con $ a \le g(x) \le b $. Se $ \exists c>0 $ tale che $ |g'(x)| \le c <1 $ $ \forall x \in [a,b] $, allora la successione $ x_{n+1}=g(x_n) $ converge all'unico punto fisso $ \alpha \in [a,b] $ per ogni punto iniziale $ x_0 \in [a,b] $