Ordine di un gruppo di matrici

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NightKnight
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Ordine di un gruppo di matrici

Messaggio da NightKnight » 15 dic 2007, 13:10

Sia p un primo. Sia $ G = GL_{2} (Z/pZ) $ il gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili 2x2 a coefficienti in Z/pZ.
Calcolare l'ordine |G|.

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hydro
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Messaggio da hydro » 15 dic 2007, 15:33

Calcoliamo l'ordine di G trovando le matrici che stanno in $ Mat_2(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}) $ ma non in $ GL_{2} (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}) $. Ovviamente l'ordine di $ Mat_2(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}) $ è p^4.
Un elemento $ \alpha \in Mat_2(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}) $ sta in $ G = GL_{2} (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}) $ se e solo se $ \det (\alpha) \neq 0 $. Essendo $ \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} $ un campo, dall'algebra lineare sappiamo che questo equivale a dire che i due vettori colonna che compongono $ \alpha $ sono linearmente indipendenti. Ma due vettori (entrambi diversi dal vettore nullo) sono linearmente dipendenti se e solo se uno è multiplo dell'altro, ovvero se $ \exists \lambda \in (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}) - \{ 0 \} $ t.c. $ A_1=\lambda A_2 $ con A_1 e A_2 le colonne di $ \alpha $. Pertanto se fissiamo le due entrate di A_1 di un elemento di $ Mat_2(Z/pZ) $ che non siano entrambi nulle (e abbiamo ovviamente p^2-1 modi di farlo), per ognuno di questi dobbiamo togliere p-1 matrici ottenute accostando alla prima colonna una colonna multiplo della prima secondo un elemento del campo diverso da 0. A queste matrici che certamente non stanno in G, vanno aggiunte: la matrice nulla e tutte le matrici che hanno una delle due colonne formata da due zeri (ma non sono la matrice nulla) che sono 2(p^2-1).
Modulo errori di combinatoria, l'ordine di G è $ p^4-(p^2-1)(p-1)-1-2(p^2-1)=p(p-1)^2(p+1) $

NightKnight
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Messaggio da NightKnight » 15 dic 2007, 18:40

Si mi torna grazie. Io invece volevo trovare le condizioni sui coefficienti usando il fatto che det(A) = ad - bc = 0 ma non ne venivo a capo.
grazie

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 17 dic 2007, 16:13

Non sembra, ma la generalizzazione di questo risultato in dimensione n è collegato al seguente problema:

dimostrare che

$ n! \mid (p^n-1)(p^n-p)\dotsm(p^n-p^{n-1}) $

:D

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 18 dic 2007, 00:55

Uhm direi che il numero a destra del $ | $ è la cardinalità di $ GL_n (\mathbb{F}_p ) $. Si fa come nel caso $ n=2 $; per la prima colonna ci sono $ p^n-1 $ possibilità, poi per la $ k $-esima posso scegliere un vettore che non sia nel sottospazio generato dalle prime $ k-1 $ colonne che ha esattamente $ p^{k-1} $ elementi; quindi posso sceglierlo in $ p^n-p^{k-1} $ modi.
A sinistra invece abbiamo la cardinalità delle "matrici di permutazione" degli elementi della base, cioè matrici tali che ci siano per ogni riga e per ogni colonna $ n-1 $ zeri e un uno. Esse formano ovviamente un sottogruppo isomorfo a $ S_n $ che quindi ha cardinalità $ n! $. Ma l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo.

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