seguendo la moda corrente...

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sqrt2
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seguendo la moda corrente...

Messaggio da sqrt2 » 02 dic 2007, 20:21

Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:

Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano

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The_Ouroboros
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Re: seguendo la moda corrente...

Messaggio da The_Ouroboros » 02 dic 2007, 22:23

sqrt2 ha scritto:Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:

Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano
Immagino che un sia troppo semplice
$ (xy)^2 = x^2 * y^2 = y^2 * x^2 = (yx)^2 $

Una curiosità... come fa senza elementi ad avere ordine 2?
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sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 02 dic 2007, 22:39

Infatti è sbagliata, perchè usi proprio quello che devi dimostrare!
$ (xy)^2=xyxy $ e $ xyxy= xxyy $ soltanto se $ xy=yx $, cioè se G è commutativo.

albert_K
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Messaggio da albert_K » 02 dic 2007, 22:43

Significa che nessun elemento è l'inverso di se stesso (tranne il neutro).

Se non sbaglio però, per dimostrare la tesi è sufficiente vedere che la funzione
$ $f(x) = x^2 $ $ è biunivoca:

$ $ g^2 = h^2; gg = hh ; h^{-1}g=hg^{-1} ; (g^{-1}h)^{-1} = g^{-1}h ; (g^{-1}h)^2 = 1 ; g = h $ $
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 02 dic 2007, 22:45

:shock: :shock: :shock: mi auguro di aver capito male la tua domanda...
Il testo è "Sia G un gruppo (senza alcun elemento di ordine 2)" e non "(Sia G un gruppo senza alcun elemento) di ordine 2"...

albert_K
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Messaggio da albert_K » 02 dic 2007, 22:48

Mi correggo! Questa dimostrazione vale solamente se il gruppo ha ordine finito. Ci ripenso.
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

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Gatto
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Re: seguendo la moda corrente...

Messaggio da Gatto » 02 dic 2007, 22:49

(Esco un secondo off topic rispetto l'esercizio)
sqrt2 ha scritto:Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:

Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano
Scusate l'ignoranza... cosa significa che un gruppo è abeliano?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 02 dic 2007, 23:02

Wikipedia risponderà ad ogni tuo dubbio.
E come nota generale a tutti: prima di domandare, assicuratevi che quel che volete non si possa ottenere con banale ricerca via google (digitando "Gruppo abeliano").

albert_K
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Messaggio da albert_K » 03 dic 2007, 12:32

albert_K ha scritto:Mi correggo! Questa dimostrazione vale solamente se il gruppo ha ordine finito. Ci ripenso.
Ripensandoci ancora, mi è venuto in mente che invece è sufficiente l'iniettività della funzione per dimostrare la tesi, anche se l'insieme è infinito. Qualcuno mi conferma o smentisce?
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]

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Messaggio da hydro » 03 dic 2007, 13:34

albert_K ha scritto: Ripensandoci ancora, mi è venuto in mente che invece è sufficiente l'iniettività della funzione per dimostrare la tesi, anche se l'insieme è infinito. Qualcuno mi conferma o smentisce?
Io penso proprio che tu abbia ragione. L'esercizio proposto da sqrt2 è una diretta conseguenza dell'iniettività di tale funzione. Infatti essendo $ f(x)=x^2 $ iniettiva, l'uguaglianza delle immagini di xy e yx sotto la f implica l'uguaglianza di tali elementi, ovvero $ xy=yx $.

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edriv
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Messaggio da edriv » 03 dic 2007, 14:23

Tra l'altro è interessante osservare che il problema è equivalente all'iniettività di f: supponendo che sia abeliano,
$ ~ a^2 = b^2 \Rightarrow (ab^{-1})^2 = e \Rightarrow ab^{-1} = e \Rightarrow a=b $ (dove in un passaggio ho usato che non ci sono elementi di ordine 2).

Altra osservazioncina: l'immagine di f è contenuta nel centro. Infatti, facendo la sostituzione $ ~ y \rightarrow x^{-1}y $ nell'uguaglianza iniziale otteniamo $ ~ xy^2 = y^2x $.

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edriv
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Messaggio da edriv » 04 dic 2007, 18:43

Partendo dall'inizio:
$ ~ abab=baba $
buttando dentro $ ~ a = xb^{-1} $ otteniamo:
$ ~ xb^{-1}bxb^{-1}b = bxb^{-1}bxb^{-1} $
$ ~ x^2 = bx^2b^{-1} $
$ ~ bx^2=x^2b $
quindi i quadrati commutano con tutti gli elementi.

Tornando all'inizio:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1} = e $
Ora ci butto dentro due quadrati generici:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1}x^2x^{-2}y^2y^{-2} = e $
L'idea è che li posso mettere dove mi pare e, facendo la sostituzione giusta, invertire qualche elemento:
$ ~ abax^{-2}by^{-2}a^{-1}x^2b^{-1}y^2a^{-1}b^{-1} = e $
Voglio ottenere un quadrato, perchè se fa l'identità, posso semplificarlo! Mettiamo x=a, y=b, e otteniamo:
$ ~ aba^{-1}b^{-1}aba^{-1}b^{-1} = e $
... funziona...
$ ~ (aba^{-1}b^{-1})^2 = e $
Attenzione! L'ordine di $ ~ aba^{-1}b^{-1} $ non può essere 2!
$ ~ aba^{-1}b^{-1} = e $
$ ~ ab = ba $

sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 04 dic 2007, 18:51

e bravo edriv, puntuale come al solito!

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edriv
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Messaggio da edriv » 04 dic 2007, 19:28

Non so cosa vuoi dire... considera Z: è abeliano, non ha elementi di ordine 2, ma non è vero che ogni intero è un quadrato! [quadrato da intendersi addittivamente... cioè come il doppio di un numero], solo i pari lo sono.

Possiamo dire che è iniettiva, e infatti l'abbiamo già detto.

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