Domanda su basi e s. vettoriali

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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The_Ouroboros
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Domanda su basi e s. vettoriali

Messaggio da The_Ouroboros » 23 nov 2007, 17:17

Con

- $ V $ spazio vettoriale

- $ f: V \rightarrow V $

- $ \beta = (x^2, x, 1) $ base di $ V $ ,
che sono in ordine $ w1, w2, w3 $

- $ v1 = 3x^2 + 5x -1 $e $ v2 = -x^2 + 1 $

- $ f(v1)= 3w1 + 5w2 - 1w3 $ e $ f(v2) = -1w1 + 0w2 + 1w3 $

La matrice associata $ M_\beta^\beta(f) $ è
| 3 5 -1 |
| -1 0 1 |
Questo ragionamento è(almeno un minimo) corretto??

Tnks
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pic88
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Messaggio da pic88 » 23 nov 2007, 17:28

Mh.. la matrice deve essere 3x3 dalle ipotesi...

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The_Ouroboros
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Messaggio da The_Ouroboros » 23 nov 2007, 17:34

e, invece, sulla stessa scia

Con

- $ V, W $ spazzi vettoriali

- $ f: V \rightarrow W $
[ in pratica fa la derivata ]

- $ \beta_1 = (x^3, x^2, x) $ base di $ V $, che sono in ordine $ v1, v2, v3 $
$ \beta_2 = (3x^2, 2x, 1) $ base di $ W $,che sono in ordine $ w1, w2, w3 $

- $ d1 = 3x^2 + 2x $, $ d2 = -4x^3 + 1 $ $ d3 = 2x $

- $ f(d1)= D(d1) = 1w1 + 1w2 + 0w3 $, $ f(d2) = D(d2) = -2w1 + 0w2 + 1w3 $ e $ f(d3) = D(d3) = 0w1 + 1w2 + 0w3 $

La matrice associata $ $M_\beta1^\beta2 (f)$ $ da è
| 1 1 0 |
| -2 0 1 |
| 0 1 0 |
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Messaggio da EvaristeG » 23 nov 2007, 18:25

Una base di uno spazio vettoriale non può contenere lo 0.
Comunque, l'esercizio del primo post non ha senso: le condizioni imposte non individuano univocamente una applicazione lineare.

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Messaggio da The_Ouroboros » 23 nov 2007, 18:32

EvaristeG ha scritto:Una base di uno spazio vettoriale non può contenere lo 0.
Comunque, l'esercizio del primo post non ha senso: le condizioni imposte non individuano univocamente una applicazione lineare.
Ok... annotato...in effetti hai ragione... base con n=3... stupido bimbo!
Per il resto... ho sbagliato proprio tutto?
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Messaggio da The_Ouroboros » 23 nov 2007, 18:41

così ha + senso, no?

- $ V, W $ spazi vettoriali

- $ f: V \to W $
[ in pratica fa la derivata ]

- $ \alpha = (x^3, x^2, x) $ base di $ V $, che sono in ordine $ v1, v2, v3 $
$ \beta = (3x^2, 2x, 1) $ base di $ W $,che sono in ordine $ w1, w2, w3 $

- $ d1 = 3x^2 + 2x , d2 = -4x^3 + 1, d3 = 2x $

- $ f(d1)= D(d1) = 1w1 + 1w2 + 0w3 $

$ f(d2) = D(d2) = -2w1 + 0w2 + 1w3 $

$ f(d3) = D(d3) = 0w1 + 1w2 + 0w3 $

La matrice associata $ M_\alpha^\beta (f) $ da è

| 1 1 0 |
| -2 0 1 |
| 0 1 0 |

P.s: come si fanno le matrici in latex?
Ultima modifica di The_Ouroboros il 23 nov 2007, 21:13, modificato 2 volte in totale.
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Messaggio da pic88 » 23 nov 2007, 20:50

Domanda stupida: come fai a scrivere d_2 usando le basi (x^3,x^2,x)?

Cerca di scrivere tutto per bene.. vedrai che le cose sono molto più chiare.
La matrice associata ad una funzione $ {f:V\to W} $ ha tante righe quant'è la base del codominio, tante colonne quant'è la base del dominio. La colonna i-esima contiene, uno sotto l'altro, le coordinate di $ {f(v_i)} $ nella base scelta per W. Il problema nel tuo esercizio è che calcoli $ {f(d_2)} $ senza che d_2 stia nel dominio; poi non mi è chiaro neppure quale sia il ruolo di d1, d2 e d3. Prima di rispondere a questo però osserva che {d1, d2, d3} e {v1,v2,v3} generano spazi (non "spazzi") diversi.

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Messaggio da The_Ouroboros » 23 nov 2007, 21:12

pic88 ha scritto:Domanda stupida: come fai a scrivere d_2 usando le basi (x^3,x^2,x)?

Cerca di scrivere tutto per bene.. vedrai che le cose sono molto più chiare.
La matrice associata ad una funzione $ {f:V\to W} $ ha tante righe quant'è la base del codominio, tante colonne quant'è la base del dominio. La colonna i-esima contiene, uno sotto l'altro, le coordinate di $ {f(v_i)} $ nella base scelta per W. Il problema nel tuo esercizio è che calcoli $ {f(d_2)} $ senza che d_2 stia nel dominio; poi non mi è chiaro neppure quale sia il ruolo di d1, d2 e d3. Prima di rispondere a questo però osserva che {d1, d2, d3} e {v1,v2,v3} generano spazi (non "spazzi") diversi.
grazie.... sia per la grammatica :oops: che per la chiarificazione :D
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