Piccola domandina che ha messo in crisi il sottoscritto per una (apparente?) discrepanza tra la definizione di asintoto e il concetto intuitivo di esso.
Nella funzione $ y=e^x\sin(x) $ considerate la retta y=0 come asintoto orizzontale? oppure no?
Il mio dubbio è: alla fine, il limite per x che tende a meno infinito è 0, quindi quella retta potrebbe benissimo essere un asintoto orizzontale. D'altra parte, la funzione la interseca infinite volte, e questo contrasta con l'idea di "retta su cui la funzione si adagia".
asintoto (chiarificazioni nella mia giovane mente)
asintoto (chiarificazioni nella mia giovane mente)
[b]Come on, come over, as fast as you can
You're afraid you won't like it, but you don't understand
One thing my brother, i'll tell you the truth,
The more time you spend feeling happy, the less time you'll feel blue.
(Jaco Pastorius)[/b]
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(Jaco Pastorius)[/b]
Premetto poche cose per avere le basi su cui discutere...
Sia $ f $ una funzione definita nelle vicinanze di $ - \infty $ (nella fonte teorica da cui attingo il termine "vicinanze" è ben definito, ma credo sia un concetto chiaro per tutti) e siano $ m,q \in \mathbb{R} $.
La retta di equazione $ y=mx+q $ si dirà asintoto di $ f $ se $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)-mx-q =0 $.
Nel nostro caso si ha $ m=q=0 $ e $ f(x)=e^xsin[x] $. Allora $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0 $.
Dunque, in base alla definizione data, la retta $ y=0 $ è asintoto.
Altro paio di maniche è stabilire se la funzione è sopra o sotto l'asintoto...
Infatti penso che non esista $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow - \infty} sgn[f(x)] $
Sia $ f $ una funzione definita nelle vicinanze di $ - \infty $ (nella fonte teorica da cui attingo il termine "vicinanze" è ben definito, ma credo sia un concetto chiaro per tutti) e siano $ m,q \in \mathbb{R} $.
La retta di equazione $ y=mx+q $ si dirà asintoto di $ f $ se $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)-mx-q =0 $.
Nel nostro caso si ha $ m=q=0 $ e $ f(x)=e^xsin[x] $. Allora $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0 $.
Dunque, in base alla definizione data, la retta $ y=0 $ è asintoto.
Altro paio di maniche è stabilire se la funzione è sopra o sotto l'asintoto...
Infatti penso che non esista $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow - \infty} sgn[f(x)] $
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell
Re: asintoto (chiarificazioni nella mia giovane mente)
Ecco, questo è importante capirlo!Salva ha scritto:D'altra parte, la funzione la interseca infinite volte, e questo contrasta con l'idea di "retta su cui la funzione si adagia".
Il fatto che (ad esempio) una funzione tenda a 0 per x che fa all'infinito non vuol dire che il suo grafico "si adagia" attorno ad y=0, ma che "gironzola sempre più vicino" a 0, non importa se sia sopra o sotto.
Altra cosa: spesso sentiamo dire che la derivata di una funzione in un certo punto è in un certo senso "la retta tangente" in quel punto. Questa famosa retta tangente però potrebbe intersecare il grafico di x in un sacco di punti, prova a pensare a:
$ \displaystyle f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{se } x=0 \\ x^2\sin \frac 1x & \mbox{altrimenti} \end{cases} $
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killing_buddha
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