compact simplicial complex

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blunotte85
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compact simplicial complex

Messaggio da blunotte85 » 04 nov 2007, 17:42

Prove the following thm:
Let D be a compact simplicial complex. Then D consists of a finite number of simplices.

Can someone help me?

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moebius
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Messaggio da moebius » 04 nov 2007, 19:17

Perhaps is not what you mean but every complex is locally finite, that means that every bounded set of (let's say) $ ~\mathbb{R}^n $ intersects finitely many simplicies.
The claims follows from the fact that a compact subset of $ ~\mathbb{R}^n $ (the complex) is closed and bounded.
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blunotte85
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Messaggio da blunotte85 » 04 nov 2007, 20:10

Why every complex is locally finite (has locally a finite number of simplices)?

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moebius
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Messaggio da moebius » 04 nov 2007, 21:39

By wikipedia (IT) definition...
Looking at wikipedia (EN) it's not so. But, assuming compact complexes, i think that you can show that it must be locally finite.
Infact, suppose not. Then choose a vertex shared by infinitely many simplicies.
Then I think that you can create a cover that can't be reduced to a finite one taking a little open containing the vertex and the interior part of simplecies that share that vertex.
Let me know about that.
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blunotte85
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Messaggio da blunotte85 » 05 nov 2007, 16:59

Ok, we can also talk in Italian.. visto che stranamente la pagina di wiki italiana è più utile di quella inglese (che avevo già controllato).
Come giustamente osservavi, basta provare che sia localmente finito perché poi dato che è compatto in R^n (=>chiuso e limitato) questo implica che è globalmente finito (cioè formato da un numero finito di simpliciali).
Ora supponiamo per assurdo che non sia finito localmente, ma che localmente esistano infiniti simpliciali in D. Poi come saresti andato avanti? Non mi è chiaro il tutto..
Grazie dell'aiuto!

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moebius
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Messaggio da moebius » 06 nov 2007, 12:22

Mi verrebbe da dire "ma allora parla come mangi!", però poi ho pensato ad una sena tristissima del tipo "Mother, may I have a some bread with porchetta?".
Lasciamo perdere... sto male e si vede :D
Dunque... A te interessava far vedere che cpt -> numero di simplessi finito. Supponi per assurdo che siano infiniti.
Costruisci un ricoprimento aperto del complesso formato dalla parte interna dei simplessi che lo compongono e "intorni" dei bordi. Questo ricoprimento non avrà mai (spero) un sottoricoprimento finito.
A questo punto mi sembra anche ovvio che cpt -> localmente finito.
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