OliForum Matematico

So che non è bello postare problemi di cui non si conosce la soluzione, però ne ho trovato uno che ha una formulazione molto semplice e mi chiedevo se la soluzione è altrettanto "comprensibile":

Dimostrare che in un qualsiasi gruppo finito di ordine dispari, ogni elemento è un quadrato.

Considera la mappa $ \sigma :G\rightarrow G $ con $ \sigma(g)=g^2 $ la tesi si ottiene osservando che $ \sigma\in Aut(G) $; infatti:
$ ord(g)=ord(\sigma(g)) $ allora $ Ker(\sigma)=\{e\} $ in particolare la mappa è suriettiva.

Stoppa2006 ha scritto:... la tesi si ottiene osservando che $ \sigma\in Aut(G) $;

Attento, quello che hai scritto non è vero. La mappa $ ~ \sigma $ non è in generale nemmeno un omomorfismo, anzi è immediato vedere che $ ~ \sigma $ è un omomorfismo se e solo se il gruppo G è abeliano.

Sia G il nostro gruppo. Osserviamo innanzitutto che in un gruppo finito l'ordine di ogni elemento divide l'ordine del gruppo. Essendo quest'ultimo dispari, nessun elemento di G può avere un periodo pari. Allora $ \forall g \in G $ $ \exists k \in \mathbb{N}_0 $ t.c. $ g^{2k+1}=1 $. Questo implica $ g^{2k}=g^{-1} \Longleftrightarrow g=g^{-2k}=(g^{-k})^2 $, e quindi ogni elementi di G è un quadrato.