Sia $ ~ P=\{x \in \mathbb{R}^+ | \lfloor x \rfloor \mbox{ è pari}\} $, ovvero [0,1) U [2,3) U ...
Sia D il complementare di P (in $ ~ \mathbb{R}^+ $).
Vogliamo che $ ~ a \in D, a^2 \in P, a^3 \in D, \ldots $.
Osservazione: wow un vecchio problema di hitleuler che torna a galla! Quando ci avevo provato allora mi sembrava abbastanza assurdo.
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Partiamo da questa disuguaglianza:
Se x > 5, k intero positivo, allora $ ~ (x^k+1)^{\frac{k+1}k} - x^{k+1} > 4 $. Poichè la funzione $ ~ x^{\frac{k+1}k} $ è convessa, e ciò implica che $ ~ \frac{f(z+1) - f(z)}{(z+1)-z} $ (guardatela come inclinazione) cresce con z, basta dimostrare la disuguaglianza per x=5.
$ ~ (5^k+1)^{\frac{k+1}k} - 5^{k+1} > 4 $
$ ~ (5^k+1)^{\frac{k+1}k} > 5^{k+1} + 4 $
Divido per $ ~ 5^k+1 $:
$ ~ (5^k + 1)^{\frac{1}{k}} > \frac{5^{k+1}+4}{5^k + 1} $
Ma questo funziona perchè possiamo metterci un 5 in mezzo:
$ \displaystyle (5^k + 1)^{\frac{1}{k}} > 5 = \frac{5^{k+1}+5}{5^k + 1} > \frac{5^{k+1}+4}{5^k + 1} $
Ora dimostriamo che esiste un tale a compreso tra (guarda a caso) 7 e 8.
Dimostriamo per induzione che, per ogni n esiste un k tale che, se $ ~ a^n $ è nell'intervallo $ ~ [k,k+1] $, allora a soddisfa la condizione voluta per esponenti che vanno da 1 ad n. (e inoltre a è tra 7 e 8 ) .
Passo base: beh, prendiamo un a tra 7 e 8.
Poi, se $ ~ a^n \in [k,k+1] $ allora a va bene per esponenti da 1 ad n. $ ~ a^n $ è in quell'intervallo se e soltanto se $ ~ a^{n+1} \in [k^{\frac{n+1}n}, (k+1)^{\frac{n+1}n}] $. Siccome $ ~ a^n \le k+1 $ e a è almeno 7, $ ~ k \ge 7^n-1 > 5^n $. Ponendo $ ~ l = k^{\frac 1n}>5 $, usando la disuguaglianza di prima con l,n al posto di x,k, e troviamo (spero) che l'intervallo $ ~ [k^{\frac{n+1}n}, (k+1)^{\frac{n+1}n}] $ è largo almeno 4. Quindi possiamo dire che contiene almeno un intervallo di diametro 1 ed appartenente a P, e uno di diametro 1 ed appartenente a D (estremi a parte). Scegliamo quello che ci va bene a seconda della parità di n, e andiamo avanti.
Dimostrata questa cosa per induzione, vediamo che un certo a appartenente a una certa intersezione infinita di intervalli chiusi incatenati (quindi non vuota) andrà bene.
Quanto alla cardinalità, direi che sono tanti quanti i reali. Questo perchè, facendo le stesse stime ma con numeri un po' più grandi (trovando un a tra 9 e 10 magari), potevo, nel passo induttivo, trovarmi a poter scegliere tra almeno due possibili intervalli nel passaggio da n ad n+1. Potendo far questa scelta infinite volte, ottengo innumerevoli catene di intervalli chiusi, ognuna dei quali mi dà un a.
Non son tanto sicuro di quanto scritto, vabeh... più che altro, beati voi che potete discutere di questi problemi quando tornate a casa in treno mentre qua si vive il contatto con la matematica solo attraverso
posting.php ... ciao a Francesco, Denis e Zoidberg che ancora non conosco ma spero di conoscere!!