Derivami le palle

[killing_buddha]

Sapete quando scoprite per caso una cosa che avevate sotto gli occhi fino a ieri, ma non avevate notato? Ecco, vorrei sapere se c'è una ragione precisa per questo fatto

L = Lunghezza della cerchionferenza = $ ~2\pi r $
A = Area del cerchio = $ \pi r^2~ $

S = Superfizie della sfera = $ 4\pi r^2~ $
V = Volume della sfera = $ \frac{4}{3}\pi r^3~ $

perchè $ L = \frac{dA}{dr}~ $ e $ V = ~\frac{dS}{dr} $?

[Xamog]

vorrei sapere se c'è una ragione precisa...

C'è.

[killing_buddha]

il passo successivo se noti è che ti chiedo quale sia e prchè ci sia forse è formulata male la domanda *sis chiarisce la voce*

perchè la derivata dell'area di un cerchio è il suo perimetro? perchè la derivata del volume di una sfera è la sua superficie?

[Nonno Bassotto]

E' il teorema di Fubini, applicato alla funzione 1 sulla palla. Cioe', bisognerebbe dirlo meglio, perche' ci sono dei cambi di variabile in coordinate polari di mezzo, ma quello che ottieni e' che
$ \int_{B_R} 1= \int_0^R \left( \int_{S_r} 1 \right) dr $
dove B_R e' la palla di raggio R e S_r la sfera di raggio r.

Ripeto: sto barando ad applicare Fubini, ma basta decomporre l'integrale di sinistra in coordinate polari, applicare Fubini, e reinglobare l'integrale in coordinate polari in un integrale sulla sfera.

Derivando rispettoa R l'identita' che ho scritto si ottiene quella che volevi.