Due successioni

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Andre_tenplus
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Due successioni

Messaggio da Andre_tenplus » 23 set 2007, 21:38

Siano $ a_n $ e $ b_n $ due successioni di numeri reali così definite:

$ \displaystyle a_{n+1} = \frac{2 a_n + b_n}{3} $


$ \displaystyle b_{n+1} = \frac{a_n + 2 b_n}{3} $

$ a_0 < b_0 $

Dimostrare che
1) $ \forall n \in N, a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_{n} $

2) $ \displaystyle lim_{n \rightarrow + \infty} a_n = lim_{n \rightarrow + \infty} b_n = \frac{a_0 + b_0}{2} $

Per ora ho dimostrato che se $ a_n $ e $ b_n $ ammettono limite, allora esso è lo stesso per entrambe.
Per il resto qualcuno mi sa aiutare?

Loth
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Messaggio da Loth » 24 set 2007, 21:45

1) Consideriamo la successione $ c : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} $ definita da $ c = b - a $.
Possiamo scrivere grazie alle relazioni date: $ c_{n+1} = \frac{a_n + 2 b_n}{3} - \frac{2 a_n + b_n}{3} = \frac{b_n - a_n}{3} $, quindi si riconosce che $ c $ e' una progressione geometrica il cui termine n-esimo e' $ c_n = \frac{b_0 - a_0}{3^n} $.
Poiche' $ b_0 > a_0 $, si ha che $ b_n - a_n = c_n > 0 \forall n \in \mathbb{N} $, che e' una delle disuguaglianze della tesi.
Inoltre, dal fatto che $ c $ sia a valori positivi, derivano le seguenti, per $ n $ naturale qualsiasi:
$ a_{n+1} = \frac{2 a_n + b_n}{3} = a_n + \frac{c_n}{3} > a_n $
$ b_{n+1} = \frac{a_n + 2 b_n}{3} = b_n - \frac{c_n}{3} < b_n $.
E' quindi dimostrato che $ \forall n \in N, a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_{n} $.

2) Si osserva che $ \forall n \in \mathbb{N}. a_{n+1} + b_{n+1} = a_n + b_n $, quindi la successione $ (a+b): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} $ vale identicamente $ a_0+b_0 $.
Allora sommiamo la quantita' $ a_{n+1} $ ad entrambi i membri della disuguaglianza $ a_{n+1} < b_{n+1} $, dimostrata sopra per ogni n naturale, ottenendo:$ 2a_{n+1} < a_{n+1} + b_{n+1} = a_0 + b_0 $.
Quindi la successione $ a $ e' strettamente crescente e superiormente limitata, quindi ammette limite finito.
Analogamente si dimostra che la successione $ b $ e' strettamente decrescente e inferiormente limitata, quindi ammette limite finito.

Sia $ l \in \mathbb{R} $ il limite di $ a $. Allora $ l = lim_{n \rightarrow + \infty} a_{n+1} = lim_{n \rightarrow + \infty} (\frac{a_n}{3} + \frac{a_0+b_0}{3}) $. Si puo' applicare il teorema del limite della funzione composta, ottenendo la relazione $ l = \frac{l}{3} + \frac{a_0+b_0}{3} $, da cui si ricava $ l = \frac{a_0+b_0}{2} $.
Osservando che la successione $ c $ definita al punto 1) ammette limite zero, si ricava che anche $ b_n \rightarrow l $.

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 25 set 2007, 10:26

per il punto 1 piu' semplicemente via induzione:
so che $ ~a_0<b_0 $
$ ~a_n<b_n \Rightarrow (a_n+b_n)+a_n<b_n+(a_n+b_n) $$ ~ \Rightarrow 3a_{n+1}<3b_{n+1} \Rightarrow a_{n+1}<b_{n+1} $
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