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Sia data una famiglia di compatti connessi(risp connessi per archi) inscatolati(il successivo contenuto nei precedenti)
Dire se l'intersezione è connessa(risp connessa per archi)

Molto carino, ci pensavo ieri sera.
Per i CpA è falso, controesempio: prendiamo "la pulce e il pettine"; rimpiazziamo la pulce con un disco di raggio $ 2^{-n} $; definiamo $ C_n $ = pettine $ \cup $ dischetto di raggio $ 2^{-n} $. I $ C_n $ sono tutti CpA ma la loro intersezione no.
Per i connessi: strada che mi sembra funzionare (supponendo lo spazio T4) ma devo riguardare ammodino la dimostrazione:
1) si dimostra che se K è compatto e sconnesso, allora ha un intorno U_K sconnesso.
2) si dimostra che se una successione di compatti inscatolati K_n converge a K, allora per n abbastanza grande $ K_n \subset U_K $
3) quindi K_n è sconnesso.

ciao federico!
precisamente...
in realtà la pulce non la conosco ma io l'avevo fatto con sin(1/x) in modo che mi sembra analogo...
T4 non ricordo cosa voglia dire ma credo basti T2,no?
ad ogni modo c'erano delle ipotesi sullo spazio ma non ricordo perchè me lo hanno detto a voce.
la dim nel caso connesso,è la stessa...
dallo stesso tipo mi è arrivato poi:
data una succ di u_n t.c.
[u_n+u_(2n)]/2 tende verso 1 allora u_n conv.
sembra meno carino ma per ora io non sono riuscito a fare niente(mi ha detto che è più diff)
ciao

ah,in effetti per dimostrare il punto2) c'è un passaggio non ovvio(credo)
come hai fatto?
G

scusate...
lo scambio di problemi in metro non funziona tanto bene...
in effetti è u_n successione limitata e tale che u_n+u_(2n)/2 tende a 1. allora u_n converge. e in realtà non è neanche così divertente...