Come hint per una soluzione carina, vi posso dire che è stato dato come problema di un corso di probabilità del primo anno.
Ed il risultato è sorprendente, come ha fatto notare rand.
limite carino
La dimostrazione probabilistica è un tantino tecnica.
Sia $ Z_n $ una variabile di Poisson di parametro $ n $.
Utilizzando, ad esempio, la funzione caratteristica si dimostra che
$ P(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} \le a)->P(N(0,1) \le a) $
ovvero $ \dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} $ tende in distribuzione a una Normale standard.
Da questo segue che $ P(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} \le 0)->P(N(0,1) \le 0)=\frac{1}{2} $,
ma
$ P(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} \le 0)=P(Z_n \le n)=\sum_{k=0}^{n}e^{-n}\dfrac{n^k}{n!} $,
da cui segue che il limite è $ \frac{1}{2} $.
Sia $ Z_n $ una variabile di Poisson di parametro $ n $.
Utilizzando, ad esempio, la funzione caratteristica si dimostra che
$ P(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} \le a)->P(N(0,1) \le a) $
ovvero $ \dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} $ tende in distribuzione a una Normale standard.
Da questo segue che $ P(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} \le 0)->P(N(0,1) \le 0)=\frac{1}{2} $,
ma
$ P(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} \le 0)=P(Z_n \le n)=\sum_{k=0}^{n}e^{-n}\dfrac{n^k}{n!} $,
da cui segue che il limite è $ \frac{1}{2} $.
Scusate se riesumo un post così antico, ma l'integrale come posso stimarlo?rand ha scritto:Per una soluzione elementare si può osservare che $ 1- \frac{1}{n!}\int_{0}^{n} e^{-x}x^ndx = e^{-n}(1 + n + \ldots + \frac{n^n}{n!}) $, poi bisogna stimare l'integrale e far vedere che tende a 1/2 al crescere di n all'infinito.
Ho provato a usare la formula di Stirling con n!, e poi ho calcolato la primitiva dell'integrale risultante (ossia di $ \displaystyle \frac{\int_{0}^{n}e^{n-x}\frac{x^n}{n^n}dx}{\sqrt{2\pi n}} $, ma alla fine devo valutare la seguente somma
$ \displaystyle \frac{\sum_{0}^{\infty}\frac{k!}{n^k}}{\sqrt{2\pi n}} $(che dovrà tornare 1/2)
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)