limite carino

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mates
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limite carino

Messaggio da mates » 12 set 2007, 12:01

Forse ben noto ma lo posto comunque

trovare il limite per $ n \to \infty $ di

$ e^{-n} \left ( 1 + \frac{n}{1!} + \frac{n^2}{2!} + \ldots + \frac{n^n}{n!} \right ) $

ttommy8488
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Messaggio da ttommy8488 » 15 set 2007, 11:33

essendo $ e^{x} = ( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \dots) $

$ \lim_{n \to \infty} (e^{-n}) ( e^{n}) = 1 $

o almeno credo.
Ultima modifica di ttommy8488 il 15 set 2007, 12:10, modificato 1 volta in totale.

killing_buddha
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Messaggio da killing_buddha » 15 set 2007, 11:47

attenzione che 0 per infty è indeterminato. Io avevo pensato qualcosa di simile, ma si potrebbe dire che
$ \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x $
solo se $ ~x $ non varia nella sommatoria! Qui invece abbiamo che la base è $ ~n $, non so se sia la stessa cosa.

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mates
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Messaggio da mates » 15 set 2007, 14:28

Attenzione ttommy8488 !!
Come ha notato killing_buddha, ci sono due cose che vanno all'infinito, la "la variabile" ed il numero di termini.....
Comunque posso dirvi che il limite esiste ed è finito. E che c'è anche una bellissima soluzione !

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Jordano
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Re: limite carino

Messaggio da Jordano » 15 set 2007, 15:24

edited
Ultima modifica di Jordano il 15 set 2007, 16:09, modificato 1 volta in totale.

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edriv
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Messaggio da edriv » 15 set 2007, 15:55

Non capisco come, nel calcolare il limite di una successione (e non di un rapporto di funzioni continue da R in R), usi il teorema di de l'hospital :?

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Jordano
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Messaggio da Jordano » 15 set 2007, 16:08

già hai ragione

edito

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 16 set 2007, 10:48

Uhm secondo me fa 0 per Cesaro, dove Cesaro (non mi ricordo se I, II o III) è:

se $ lim \frac{ a_{n+1} -a_n }{b_{n+1} - b_n } $ esiste e $ b_n \to \infty $ allora $ lim \frac{ a_n }{b_n } = lim \frac{ a_{n+1} -a_n }{b_{n+1} - b_n } $ (forse con l'assunzione che $ b_n $ è crescente...).

In questo modo il notro limite viene:

$ \displaystyle lim \frac{ n^n }{ n! e^n( 1 - e^{-1})} $

che fa zero conoscendo i limiti "notevoli" sul fattoriale.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 16 set 2007, 11:39

In effetti chi aveva usato l'hopital non aveva poi così sbagliato: quel cesaro viene a volte detto l'hopital discreto, per evidenti ragioni.

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rand
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Messaggio da rand » 16 set 2007, 15:19

Non e` per pignoleria, ma il limite e` 1/2, stranamente. La soluzione e` piuttosto intrigante.

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Messaggio da EvaristeG » 16 set 2007, 18:06

Scusa, rand, ma l'applicazione di Cesaro mi sembra corretta e il limite che ha scritto Simo va a zero per l'approssimazione di Stirling (ci manca un radice di n per andare al finito).
In quella soluzione cosa c'è che non va?

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rand
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Messaggio da rand » 16 set 2007, 18:47

Non mi torna perche` $ a_n - a_{n-1} $ faccia $ \frac{n^n}{n!} $, non confondiamo $ a_n $ con $ \sum_{i=1}^{n} i^i / i! $. La soluzione che conoscevo e` meno elementare.

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 16 set 2007, 20:17

abbiamo
$ $\frac{a_n}{b_n}$ $con $ $a_n=\sum_0^n_i\frac{n^i}{i!}$ $ e $ $b_n=e^n$ $

$ $a_{n+1}-a_n=\sum_0^{n+1}_i\frac{(n+1)^i}{i!}-\sum_0^n_i\frac{n^i}{i!}$ $$ $ =\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}+\sum_0^{n}_i\frac{(n+1)^i-n^i}{i!}$ $
$ $b_{n+1}-b_n=e^{n+1}-e^n=e^n(e-1)$ $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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rand
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Messaggio da rand » 16 set 2007, 20:37

Il difficile e` dato da quel secondo termine nella somma, il cui contributo non e` evidentemente trascurabile.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 16 set 2007, 21:14

Ops, chiedo venia ... la semplicità aveva ingannato anche me...

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