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Chiusura transitiva
Inviato: 27 lug 2007, 10:26
da Joker87
Allora,
A={a,b,c,d}
R={(a,b,),(b,c),(c,d),(d,a)} con R sottoinsieme di IxI
ho gia verificato che NON è una relazione transitiva e che E' una funzione iniettiva
vorrei che mi spiegaste tre cosette
1-Perchè R è una relazione antisimmetrica? Cioè da dove lo capisco, mi fate vedere proprio il procedimento?
2-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenza?
io ho trovato la chiusura transitiva e dovrebbe essere questa R={(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(b,d),(c,a),(d,b)} ma come mai è una relazione di equivalenza? cioè non mi sembra che questa sia transitiva perchè non vedo (a,a),(b,b),(c,c) e (d,d)
3-questa chiusura transitiva unita ad (AxA) e' una relazione di equivalenza?
GRAZIE IN ANTICIPO
Inviato: 27 lug 2007, 12:05
da riflex
Hai tutta la mia comprensione...se può esserti d'aiuto io ho utilizzato lo schaum quando studiavo topologia. Studiavo è una parola grossa visto che nn ci ho mai capito una mazza!!
Beh buona fortuna.
Re: Chiusura transitiva
Inviato: 27 lug 2007, 12:48
da Martino
Ciao! Provo a rispondere io. Scriverò "
xy" per indicare che x è in relazione con y.
Joker87 ha scritto:Allora,
A={a,b,c,d}
R={(a,b,),(b,c),(c,d),(d,a)} con R sottoinsieme di IxI
ho gia verificato che NON è una relazione transitiva e che E' una funzione iniettiva
vorrei che mi spiegaste tre cosette
1-Perchè R è una relazione antisimmetrica? Cioè da dove lo capisco, mi fate vedere proprio il procedimento?
Antisimmetria significa, come sai, che da
xy e
yx deriva che x=y. Nel caso di R, non ci sono elementi x,y tali che
xy e
yx, quindi la proposizione "
xy e
yx implica x=y" è verificata (se vuoi, perché falso implica vero).
2-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenza?
io ho trovato la chiusura transitiva e dovrebbe essere questa R={(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(b,d),(c,a),(d,b)} ma come mai è una relazione di equivalenza? cioè non mi sembra che questa sia transitiva perchè non vedo (a,a),(b,b),(c,c) e (d,d)
La chisura transitiva di R non è quella che hai scritto. Come vedi, in essa sono presenti (a,c) e (c,a), quindi per transitività dev'essere presente anche (a,a). Analogamente per gli altri elementi di AxA. Mancano anche altri elementi...
3-questa chiusura transitiva unita ad (AxA) e' una relazione di equivalenza?
Per vederlo, basta mostrare che la chiusura transitiva è simmetrica (abbiamo già visto che è riflessiva). Hai
ab, vuoi mostrare
ba. Ma
ba segue da
bd e
da.
cb segue da
cd e
db,
dc da
db e
bc,
ad da
ac e
cd, ecc.
Inviato: 27 lug 2007, 12:57
da Joker87
Martino ma quello che dici tu, cioèp ad esempio "xy e yx implica x=y" lo devo fare per ogni tipo di relazione? cioè anche per quella riflessiva, simmetrica ecc..?
io invece mi limitavo a vedere gli elementi della relazione. ad esempio se ho
a={a,b,c}
R={(a,a),(b,b),(c,c)} si vede chiaramente che è riflessiva, oppure devo fare sempre quel ragionamento?
Inviato: 27 lug 2007, 13:16
da Joker87
provo a fare la chiusura transitiva di una relazione ditemi se è giusta o no
R={(b,c),(a,d),(d,e),(c,d){
CHIUSURA TRANSITIVA={(b,c),(b,d),(a,d),(d,e),(a,e),(c,d),(c,e)}
Inviato: 27 lug 2007, 13:54
da Martino
Riciao!
Joker87 ha scritto:Martino ma quello che dici tu, cioèp ad esempio "xy e yx implica x=y" lo devo fare per ogni tipo di relazione? cioè anche per quella riflessiva, simmetrica ecc..?
Quel ragionamento serve per verificare se una relazione è
antisimmetrica.
ad esempio se ho
a={a,b,c}
R={(a,a),(b,b),(c,c)} si vede chiaramente che è riflessiva, oppure devo fare sempre quel ragionamento?
Si vede chiaramente che è riflessiva. Perché dovresti fare quel ragionamento, dato che quel ragionamento serve per vedere se la relazione è antisimmetrica?
provo a fare la chiusura transitiva di una relazione ditemi se è giusta o no
R={(b,c),(a,d),(d,e),(c,d){
CHIUSURA TRANSITIVA={(b,c),(b,d),(a,d),(d,e),(a,e),(c,d),(c,e)}
Non è giusta. Basta che la osservi per renderti conto che non è una relazione transitiva. Per esempio
ci sono (b,d) e (d,e) ma non c'è (b,e).
Inviato: 27 lug 2007, 14:03
da Joker87
1-Il (b,e) mi è sfuggito però ho capito il meccanismo
2- Per verificare se una relazione è simmetrica ad esempio come faccio?
se ho R={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a)} questa dovrebbe essere simmetrica
questa invece no R={(a,b),(b,c),(c,d),(b,a)} perchè non tutte le coppie x,y hanno una coppia y,x.
oppure c'è anche qui un procedimento per verificarla?
Inviato: 27 lug 2007, 14:06
da Martino
Joker87 ha scritto: .. perchè non tutte le coppie x,y hanno una coppia y,x.
Questo che hai scritto è il procedimento per verificarla.
Hai ragione, mancava solo (b,e)
Inviato: 27 lug 2007, 14:07
da Joker87
Ora provo a fare un esercizietto su queste cose, se quando hai tempo mi ci dai un occhiata mi faresti un piacere
tra 10 minuti lo metto online, è a crocette comq
Inviato: 27 lug 2007, 14:19
da Joker87
Sia A={1,2,3,4} e sia R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} una relazione binaria su A
-R è una relazione transitiva FALSO perchè ad esempio non ci sono le coppie (1,3),(2,4),(3,1) e (4,2)
-R è una relazione simmetrica FALSO Perchè non ci sono le coppie (2,1),(3,2),(4,3),(1,4)
-R è una relazione antisimmetrica PENSO SIA VERO MA SE MI SPIEGHI BENE PERCHE' MI FARESTI UN PIACERE voglio vedere se è quello che penso io, cioè ad esempio c'è la coppia (1,2) ma non c'è (2,1) quindi xy e yx implica x=y la posso scrivere come FALSO IMPLICA VERO, che quindi è FALSO
-R e' una funzione iniettiva VERO senza che spiego:-D
-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenze. Prima mi scrivo la chiusura transitiva, cioè R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(1,3),(2,4),(3,1),(1,4),(2,1),(4,2),(3,2),(4,3)} forse me ne sono dimenticato qualcuno
per essere una relazione di equivalenza dovrebbe essere riflessiva, simmetrica e transitiva.Questa e' transitiva, è simmetrica ma non è transitiva, perchè non ci sono le coppie (1,1), (2,2)ec....
-La chiusura transitiva di R è una funzione FALSO, perchè agli elementi del dominio non corrisponde solo un elemento del codominio, quindi per la definizione di funzione, non è una funzione
Inviato: 27 lug 2007, 14:52
da Joker87
-R è una relazione antisimmetrica PENSO SIA VERO MA SE MI SPIEGHI BENE PERCHE' MI FARESTI UN PIACERE voglio vedere se è quello che penso io, cioè ad esempio c'è la coppia (1,2) ma non c'è (2,1) quindi xy e yx implica x=y la posso scrivere come FALSO IMPLICA VERO, che quindi è FALSO
ho sbagliato, FALSO IMPLICA VERO E' VERO, E NON FALSO
Inviato: 27 lug 2007, 15:03
da Martino
Joker87 ha scritto:-R è una relazione antisimmetrica PENSO SIA VERO MA SE MI SPIEGHI BENE PERCHE' MI FARESTI UN PIACERE
Una relazione
non è antisimmetrica se e solo se esistono due elementi x,y
distinti tali che (x,y) e (y,x) appartengono entrambi alla relazione.
Se questo non è verificato, ovvero se non esistono x,y distinti tali che (x,y) e (y,x) appartengono entrambi alla relazione, allora ovviamente la relazione non è non antisimmetrica, ovvero è antisimmetrica.
In questo caso non esistono tali x,y, quindi la relazione è antisimmetrica.
-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenze. Prima mi scrivo la chiusura transitiva, cioè R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(1,3),(2,4),(3,1),(1,4),(2,1),(4,2),(3,2),(4,3)} forse me ne sono dimenticato qualcuno
per essere una relazione di equivalenza dovrebbe essere riflessiva, simmetrica e transitiva.Questa e' transitiva, è simmetrica ma non è transitiva, perchè non ci sono le coppie (1,1), (2,2)ec....
Il "transitiva" sottolineato va sostituito con "riflessiva".
Ti sei dimenticato proprio le coppie (1,1), (2,2), etc. Infatti la chiusura transitiva, contenendo (1,2) e (2,1), deve contenere anche (1,1) e (2,2) (per la proprietà transitiva!), e per lo stesso motivo contenendo (3,4) e (4,3) deve contenere anche (3,3) e (4,4).
Il resto è giusto.
Inviato: 27 lug 2007, 15:07
da Joker87
sisi ho sbagliato , volevo dire riflessiva
capito, quindi è una relazione di equivalenza
grazie mille, ora mi sono chiare molte cose
Inviato: 27 lug 2007, 15:09
da Martino
Prego
Inviato: 27 lug 2007, 16:02
da Joker87
non riesco ancora a capire l'antisimmetria
ad esempio questa è antisimmetrica?
R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
stando alla definizione tua questa dovrebbe essere antisimmetrica, perchè non vedo coppie (x,y) e (y,x), o sbaglio?