Chiusura transitiva

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Joker87
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Chiusura transitiva

Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 10:26

Allora,
A={a,b,c,d}
R={(a,b,),(b,c),(c,d),(d,a)} con R sottoinsieme di IxI

ho gia verificato che NON è una relazione transitiva e che E' una funzione iniettiva

vorrei che mi spiegaste tre cosette

1-Perchè R è una relazione antisimmetrica? Cioè da dove lo capisco, mi fate vedere proprio il procedimento?

2-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenza?
io ho trovato la chiusura transitiva e dovrebbe essere questa R={(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(b,d),(c,a),(d,b)} ma come mai è una relazione di equivalenza? cioè non mi sembra che questa sia transitiva perchè non vedo (a,a),(b,b),(c,c) e (d,d)

3-questa chiusura transitiva unita ad (AxA) e' una relazione di equivalenza?

GRAZIE IN ANTICIPO

riflex
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Messaggio da riflex » 27 lug 2007, 12:05

Hai tutta la mia comprensione...se può esserti d'aiuto io ho utilizzato lo schaum quando studiavo topologia. Studiavo è una parola grossa visto che nn ci ho mai capito una mazza!!
Beh buona fortuna.

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Martino
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Re: Chiusura transitiva

Messaggio da Martino » 27 lug 2007, 12:48

Ciao! Provo a rispondere io. Scriverò "xy" per indicare che x è in relazione con y.
Joker87 ha scritto:Allora,
A={a,b,c,d}
R={(a,b,),(b,c),(c,d),(d,a)} con R sottoinsieme di IxI

ho gia verificato che NON è una relazione transitiva e che E' una funzione iniettiva

vorrei che mi spiegaste tre cosette

1-Perchè R è una relazione antisimmetrica? Cioè da dove lo capisco, mi fate vedere proprio il procedimento?
Antisimmetria significa, come sai, che da xy e yx deriva che x=y. Nel caso di R, non ci sono elementi x,y tali che xy e yx, quindi la proposizione "xy e yx implica x=y" è verificata (se vuoi, perché falso implica vero).
2-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenza?
io ho trovato la chiusura transitiva e dovrebbe essere questa R={(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(b,d),(c,a),(d,b)} ma come mai è una relazione di equivalenza? cioè non mi sembra che questa sia transitiva perchè non vedo (a,a),(b,b),(c,c) e (d,d)
La chisura transitiva di R non è quella che hai scritto. Come vedi, in essa sono presenti (a,c) e (c,a), quindi per transitività dev'essere presente anche (a,a). Analogamente per gli altri elementi di AxA. Mancano anche altri elementi...
3-questa chiusura transitiva unita ad (AxA) e' una relazione di equivalenza?
Per vederlo, basta mostrare che la chiusura transitiva è simmetrica (abbiamo già visto che è riflessiva). Hai ab, vuoi mostrare ba. Ma ba segue da bd e da. cb segue da cd e db, dc da db e bc, ad da ac e cd, ecc.
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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 12:57

Martino ma quello che dici tu, cioèp ad esempio "xy e yx implica x=y" lo devo fare per ogni tipo di relazione? cioè anche per quella riflessiva, simmetrica ecc..?

io invece mi limitavo a vedere gli elementi della relazione. ad esempio se ho

a={a,b,c}

R={(a,a),(b,b),(c,c)} si vede chiaramente che è riflessiva, oppure devo fare sempre quel ragionamento?

Joker87
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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 13:16

provo a fare la chiusura transitiva di una relazione ditemi se è giusta o no

R={(b,c),(a,d),(d,e),(c,d){

CHIUSURA TRANSITIVA={(b,c),(b,d),(a,d),(d,e),(a,e),(c,d),(c,e)}

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Martino
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Messaggio da Martino » 27 lug 2007, 13:54

Riciao! :wink:
Joker87 ha scritto:Martino ma quello che dici tu, cioèp ad esempio "xy e yx implica x=y" lo devo fare per ogni tipo di relazione? cioè anche per quella riflessiva, simmetrica ecc..?
Quel ragionamento serve per verificare se una relazione è antisimmetrica.
ad esempio se ho

a={a,b,c}

R={(a,a),(b,b),(c,c)} si vede chiaramente che è riflessiva, oppure devo fare sempre quel ragionamento?
Si vede chiaramente che è riflessiva. Perché dovresti fare quel ragionamento, dato che quel ragionamento serve per vedere se la relazione è antisimmetrica?
provo a fare la chiusura transitiva di una relazione ditemi se è giusta o no

R={(b,c),(a,d),(d,e),(c,d){

CHIUSURA TRANSITIVA={(b,c),(b,d),(a,d),(d,e),(a,e),(c,d),(c,e)}
Non è giusta. Basta che la osservi per renderti conto che non è una relazione transitiva. Per esempio ci sono (b,d) e (d,e) ma non c'è (b,e).
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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 14:03

1-Il (b,e) mi è sfuggito però ho capito il meccanismo

2- Per verificare se una relazione è simmetrica ad esempio come faccio?

se ho R={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a)} questa dovrebbe essere simmetrica

questa invece no R={(a,b),(b,c),(c,d),(b,a)} perchè non tutte le coppie x,y hanno una coppia y,x.

oppure c'è anche qui un procedimento per verificarla?

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Martino
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Messaggio da Martino » 27 lug 2007, 14:06

Joker87 ha scritto: .. perchè non tutte le coppie x,y hanno una coppia y,x.
Questo che hai scritto è il procedimento per verificarla.

Hai ragione, mancava solo (b,e) :wink:
Ultima modifica di Martino il 27 lug 2007, 14:08, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 14:07

Ora provo a fare un esercizietto su queste cose, se quando hai tempo mi ci dai un occhiata mi faresti un piacere

tra 10 minuti lo metto online, è a crocette comq

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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 14:19

Sia A={1,2,3,4} e sia R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} una relazione binaria su A

-R è una relazione transitiva FALSO perchè ad esempio non ci sono le coppie (1,3),(2,4),(3,1) e (4,2)

-R è una relazione simmetrica FALSO Perchè non ci sono le coppie (2,1),(3,2),(4,3),(1,4)

-R è una relazione antisimmetrica PENSO SIA VERO MA SE MI SPIEGHI BENE PERCHE' MI FARESTI UN PIACERE voglio vedere se è quello che penso io, cioè ad esempio c'è la coppia (1,2) ma non c'è (2,1) quindi xy e yx implica x=y la posso scrivere come FALSO IMPLICA VERO, che quindi è FALSO

-R e' una funzione iniettiva VERO senza che spiego:-D

-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenze. Prima mi scrivo la chiusura transitiva, cioè R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(1,3),(2,4),(3,1),(1,4),(2,1),(4,2),(3,2),(4,3)} forse me ne sono dimenticato qualcuno

per essere una relazione di equivalenza dovrebbe essere riflessiva, simmetrica e transitiva.Questa e' transitiva, è simmetrica ma non è transitiva, perchè non ci sono le coppie (1,1), (2,2)ec....

-La chiusura transitiva di R è una funzione FALSO, perchè agli elementi del dominio non corrisponde solo un elemento del codominio, quindi per la definizione di funzione, non è una funzione

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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 14:52

-R è una relazione antisimmetrica PENSO SIA VERO MA SE MI SPIEGHI BENE PERCHE' MI FARESTI UN PIACERE voglio vedere se è quello che penso io, cioè ad esempio c'è la coppia (1,2) ma non c'è (2,1) quindi xy e yx implica x=y la posso scrivere come FALSO IMPLICA VERO, che quindi è FALSO
ho sbagliato, FALSO IMPLICA VERO E' VERO, E NON FALSO

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Messaggio da Martino » 27 lug 2007, 15:03

Joker87 ha scritto:-R è una relazione antisimmetrica PENSO SIA VERO MA SE MI SPIEGHI BENE PERCHE' MI FARESTI UN PIACERE
Una relazione non è antisimmetrica se e solo se esistono due elementi x,y distinti tali che (x,y) e (y,x) appartengono entrambi alla relazione.
Se questo non è verificato, ovvero se non esistono x,y distinti tali che (x,y) e (y,x) appartengono entrambi alla relazione, allora ovviamente la relazione non è non antisimmetrica, ovvero è antisimmetrica.
In questo caso non esistono tali x,y, quindi la relazione è antisimmetrica.
-La chiusura transitiva di R è una relazione di equivalenze. Prima mi scrivo la chiusura transitiva, cioè R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(1,3),(2,4),(3,1),(1,4),(2,1),(4,2),(3,2),(4,3)} forse me ne sono dimenticato qualcuno

per essere una relazione di equivalenza dovrebbe essere riflessiva, simmetrica e transitiva.Questa e' transitiva, è simmetrica ma non è transitiva, perchè non ci sono le coppie (1,1), (2,2)ec....
Il "transitiva" sottolineato va sostituito con "riflessiva".
Ti sei dimenticato proprio le coppie (1,1), (2,2), etc. Infatti la chiusura transitiva, contenendo (1,2) e (2,1), deve contenere anche (1,1) e (2,2) (per la proprietà transitiva!), e per lo stesso motivo contenendo (3,4) e (4,3) deve contenere anche (3,3) e (4,4).

Il resto è giusto.
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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 15:07

sisi ho sbagliato , volevo dire riflessiva

capito, quindi è una relazione di equivalenza

grazie mille, ora mi sono chiare molte cose

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Martino
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Messaggio da Martino » 27 lug 2007, 15:09

Prego :wink:
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Messaggio da Joker87 » 27 lug 2007, 16:02

non riesco ancora a capire l'antisimmetria

ad esempio questa è antisimmetrica?

R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

stando alla definizione tua questa dovrebbe essere antisimmetrica, perchè non vedo coppie (x,y) e (y,x), o sbaglio?

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