L'acchiapparette

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EvaristeG
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L'acchiapparette

Messaggio da EvaristeG » 24 lug 2007, 20:35

Dato un insieme convesso $ S $ del piano, un acchiapparette per $ S $ è un insieme $ D $ di curve (applicazioni differenziabili a tratti da [0,1] in $ \mathbb{R}^2 $) tale che se una retta interseca S, allora interseca anche D.
Dimostrare che la lunghezza totale di D è almeno metà del perimetro di S.

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<enigma>
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Re: L'acchiapparette

Messaggio da <enigma> » 02 dic 2014, 22:58

La formula di Crofton non orientata ci dice che
\[ \ell(D) =\frac 1 2 \iint n_D(\varphi,p) \text{d} \varphi \text{d} p\geq \frac 1 2 \iint \begin{cases} 1, n_{\partial S}(\varphi,p)>0 \\ 0,n_{\partial S}(\varphi,p)=0 \end{cases} \text{d} \varphi \text{d} p =\frac 1 2 \ell(\partial S)\]
(occorre un attimo di attenzione ai segni ma il risultato è proprio questo).
Le notazioni le spiega qualsiasi pagina sulla formula di Crofton ma le riassumo per completezza: $(\varphi,p)$ è la parametrizzazione delle rette non orientate con angolo e distanza dall'origine, $n_\gamma(\varphi,p)$ è il numero di intersezioni della retta $(\varphi,p)$ con $\gamma$.
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"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

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Re: L'acchiapparette

Messaggio da <enigma> » 05 dic 2014, 00:42

Visto che mi sono stati chiesti chiarimenti in privato su questo punto, preciso che nell'ultimo passaggio ho usato esplicitamente la convessità di $S$ nella forma "$n_{\partial S}(\varphi, p)=2$ o $0$ tranne che su un insieme di misura nulla" per ricondurre l'integrale a quello di $n_{\partial S}(\varphi, p)$ e riapplicare Crofton.
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