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Integrali Impropri e limiti di integrali

Inviato: 16 lug 2007, 17:04
da Diè
Salve a tutti, ho un problema riguardo l'esecuzione di queste due tipologie di esercizio (premetto che studio Ingegneria e dovrò rifare l'esame di Analisi per la quinta volta settimana prossima 8) )

Bene, sul libro del docente non riesco bene a trovare un pò di esercizi riguardo queste due tipologie, mi sapreste dare per piacere un link a qualche esercizio esaustivo qui su internet? se è possibile :) in modo da cercare di capire come si risolvono..:roll: sono una frana in matematica :cry:


In particolare, per favore mi potreste dare una mano, svolgendomi qui questi tre esercizi passo per passo? in modo da cercare di capire come si sviluppano e si svolgono :)

Uno è questo
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l'altro (scusate se l'ho scritto a mano :) ) è questo
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e l'ultimo è questo
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Grazie in anticipo, sono davvero in panico...:cry:

un saluto!

-Diego-

Inviato: 16 lug 2007, 17:44
da killing_buddha
Il sito del mio prof. di analisi 2.
a fondo pagina trovi due pdf
http://www.math.unipd.it/~maraston/Mat3F/
# Integrali generalizzati (NOTE)
# Integrali generalizzati (TEST - testo e soluzioni)

Inviato: 17 lug 2007, 12:21
da Diè
grazie per il tuo sito :) cercherò di ragionarci sopra :wink:


Per gli esercizi, non c'è problema, se c'è qualcuno che è così gentile da risolvermeli passo per passo, mi farebbe un grandissimo favore :)

un saluto!

Inviato: 18 lug 2007, 11:59
da Martino
Li riscrivo.

1) $ \displaystyle \int_0^1 \frac{(x-\sin x)^{\alpha} \tan x}{x^{2 \alpha} (1+x^2)}dx $

2) $ \displaystyle \int_0^1 \frac{(x-\sin x)^{\alpha}}{x^{4 \alpha} (1+x^5 \sin \frac{1}{x^2}) \log (1+x)}dx $

3) $ \displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{\int_0^{x^2} \frac{1-\cos \sqrt{t}}{2+\cos t}dt}{(\sinh x-x) \sin x} $

Secondo me per i primi due la tattica è passare ad una opportuna funzione asintotica vicino agli estremi di integrazione "dubbi", e vedere per quali alpha questa funzione asintotica ammette integrale improprio finito in un intorno di quell'estremo.

Per esempio per il primo, dovendo discutere la convergenza vicino a zero, puoi accorgerti che (per $ \sim_0 $ intendo "asintotico in zero a"):

$ (x-\sin x)/x \sim_0 x^2/6, \hspace{1cm} \tan x/x^{\alpha} \sim_0 (\sin x)^{1-\alpha} \sim_0 x^{1-\alpha} $

riducendoti a valutare l'integrabilità vicino a 0 di

$ x \mapsto \frac{1}{6^{\alpha}}x^{2\alpha+1-\alpha}=\frac{1}{6^{\alpha}}x^{1+\alpha} $

e ottenendo quindi $ 1+\alpha+1>0 $, ovvero $ \alpha>-2 $.

Per quanto riguarda il terzo, se non sbaglio basta usare Hopital (dopo aver dimostrato che si può...) seguito dal teorema fondamentale del calcolo per calcolare la derivata dell'integrale (nella fattispecie, se $ F(x)=\int_0^xf(t)dt $ allora $ \frac{d}{dx}\int_0^{g(x)}f(t)dt=\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x) $).
A me il limite viene 3/4.

Spero di ricordare bene e di non aver scritto cose scorrette :)

Ciao ciao.

Inviato: 18 lug 2007, 15:01
da Diè
Grazie mille!! ora stampo quello che hai scritto ci rifletto per tutto il pomeriggio!! grazie mille ancora! :D

Inviato: 18 lug 2007, 15:50
da Diè
Martino ha scritto:
Per quanto riguarda il terzo, se non sbaglio basta usare Hopital (dopo aver dimostrato che si può...) seguito dal teorema fondamentale del calcolo per calcolare la derivata dell'integrale (nella fattispecie, se $ F(x)=\int_0^xf(t)dt $ allora $ \frac{d}{dx}\int_0^{g(x)}f(t)dt=\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x) $).
A me il limite viene 3/4.


Ciao ciao.
Una domanda riguardo il terzo :)

Credo di aver capito il procedimento, ma sia a me che a mia sorella viene come risultato 1/2 ... :) vabbè....molto probabilmente sbagliamo noi qualcosa...nel caso (sempre se vuoi, sennò non fa niente ;)) potresti ricontrollare anche tu?

grazie mille in anticipo :)

Inviato: 18 lug 2007, 16:04
da Martino
Diè ha scritto:sia a me che a mia sorella viene come risultato 1/2 ...... :) vabbè....molto probabilmente sbagliamo noi qualcosa...
No no hai perfettamente ragione: viene 1/2. Nella fretta, nel valutare $ 2+\cos x^2 $ in zero ho ottenuto 2 (misteri della fede...), che ho semplificato con il 2 a numeratore ottenendo un fattore 1 anziché 2/3 (e ciò è sintomatico essendo 3/4 * 2/3 = 1/2 :)).

Ciao ciao!

Inviato: 19 lug 2007, 10:38
da Diè
ok, grazie mille davvero, sei stato molto gentile! :wink: grazie a questi tre esercizi ho capito come si risolvono finalmente questa tipologia di esercizio...

settimana prossima ti farò sapere come mi andrà l'esame! :)


Grazie ancora,

un saluto

-Diego-