Tra 8 ce ne sono 4 linearmente dipendenti.
Tra 8 ce ne sono 4 linearmente dipendenti.
Scegliamo 8 vettori in $ Z_{3}^{4} $. Provare che tra questi ce ne sono 4 linearmente dipendenti.
Dunque la dimensione di$ \mathbb{Z}_{3}^4 $ come spazio vettoriale sul campo $ \mathbb{Z}_{3} $ è 4. Quindi posso prendere al massimo 4 vettori linearmente indipendenti. Se prendo 8 vettori, gli ultimi 4 saranno per forza dipendenti dai primi 4 che scelgo.
>>> Io sono la gomma e tu la colla! <<<
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Prendiamo sei vettori in $ Z_3^4 $, $ v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6 $. Ora se i primi quattro sono dipendenti abbiamo finito, altrimenti formano una base, cosicché possiamo scrivere i rimanenti due in termini dei primi quattro. Scrivendo tutti e sei i vettori usando la base che consiste dei primi quattro otteniamo la seguente matrice, da leggersi per colonne:
$ M = \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & a_1 & b_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & a_2 & b_2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & a_3 & b_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a_4 & b_4 \end{array} $
Isoliamo le ultime due colonne dalle altre, considerando la matrice A formata da tali due colonne. A è una matrice di 4 righe e 2 colonne. Se uno dei suoi termini e' nullo, per esempio $ a_1 $, affiancando la quinta colonna di M a seconda, terza e quarta otteniamo quattro vettori linearmente dipendenti (la prima riga e' di zeri). Questo ragionamento ci permette di supporre che tutti i coefficienti di A siano non nulli. Le quattro righe di A sono coppie di elementi non nulli di $ Z_3 $, e tra tali coppie ci sono solo 2 classi di proporzionalità (la classe di (1 1) e la classe di (1 2)). Ne segue che esistono due righe di A che sono tra loro proporzionali. Per esempio, siano esse $ (a_1\ b_1),\ (a_2\ b_2) $. Allora le ultime quattro colonne di M sono linearmente dipendenti.
In sintesi: perché le colonne di M siano a 4 a 4 linearmente indipendenti è necessario che tutti i minori di ordine 1 e 2 delle ultime 2 colonne non si annullino. Imponendo la prima di tali due condizioni, la seconda non può essere soddisfatta perche' il numero di componenti di ogni vettore supera il numero di classi di proporzionalita' delle righe.
Generalizzando: dati un primo p, $ n \geq p $, e dati n+2 vettori in $ Z_p^n $, tra essi ce ne sono n linearmente dipendenti.
$ M = \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & a_1 & b_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & a_2 & b_2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & a_3 & b_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a_4 & b_4 \end{array} $
Isoliamo le ultime due colonne dalle altre, considerando la matrice A formata da tali due colonne. A è una matrice di 4 righe e 2 colonne. Se uno dei suoi termini e' nullo, per esempio $ a_1 $, affiancando la quinta colonna di M a seconda, terza e quarta otteniamo quattro vettori linearmente dipendenti (la prima riga e' di zeri). Questo ragionamento ci permette di supporre che tutti i coefficienti di A siano non nulli. Le quattro righe di A sono coppie di elementi non nulli di $ Z_3 $, e tra tali coppie ci sono solo 2 classi di proporzionalità (la classe di (1 1) e la classe di (1 2)). Ne segue che esistono due righe di A che sono tra loro proporzionali. Per esempio, siano esse $ (a_1\ b_1),\ (a_2\ b_2) $. Allora le ultime quattro colonne di M sono linearmente dipendenti.
In sintesi: perché le colonne di M siano a 4 a 4 linearmente indipendenti è necessario che tutti i minori di ordine 1 e 2 delle ultime 2 colonne non si annullino. Imponendo la prima di tali due condizioni, la seconda non può essere soddisfatta perche' il numero di componenti di ogni vettore supera il numero di classi di proporzionalita' delle righe.
Generalizzando: dati un primo p, $ n \geq p $, e dati n+2 vettori in $ Z_p^n $, tra essi ce ne sono n linearmente dipendenti.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"