Funzione limitata

[korkey]

Salve a tutti,

ho questa funzione:

$ \displaystyle e^\frac {1}{\abs {|senx|}} $

devo dire se è limitata in $ [\displaystyle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $

Mi sono trovato il codominio della f(x) che è l'intervallo $ \displaystyle]0,\frac{1}{e}] $

Quindi la risposta al quesito è no??

[dalferro11]

Forse dovresti rivedere un po' il problema
Ad esempio potresti studiale la funzione in un intorno di zero.....

Poi se il codominio è appunto (0, 1/e] COME DICI TU, la funzione se così fosse avrebbe un massimo (1/e), e un estremo inferiore che è 0 e quindi sarebbe limitata.

[Martino]

Ciao!

Ho bisogno di dire una cosa: non e' che il codominio di una funzione si puo' "trovare", casomai si puo' trovare l'immagine di una funzione (altrimenti, tra l'altro, le funzioni sarebbero tutte suriettive... )...

Detto questo, non capisco come puo' essere ]0,1/e] l'immagine della f dato che la f non assume mai il valore 1/e (per assumerlo il modulo del seno dovrebbe essere -1 ..).

Ah.. una funzione si dice limitata se la sua immagine e' limitata (ovvero, nel caso l'immagine sia contenuta in R, ammette un maggiorante e un minorante). Quindi se trovi che l'immagine di una funzione a valori reali e' ]0,1/e] (non e' questo il caso), allora la funzione e' limitata (l'immagine ammette 0 come minorante, 1/e come maggiorante).



Ciao.

[korkey]

Scusatemi forse non sono stato molto chiaro, ma rivediamo il problema:

io ho la

f(x)= $ \displaystyle e^{\frac{1}{|senx|} $

il dominio è $ R-[{0+2k\pi,\pi+2k\pi}] $

Allora ho calcolato il limite proprio in questi due punti ed ho trovato che è uguale a 0 (discontinuita eliminabile)

Per la monotonia vedo che la f(x) cresce tra]0,$ \displaystyle\frac{1}{e} $]
e decresce tra[$ \displaystyle\frac{1}{e} $,$ \pi $[

Ora lo so che mi obietterete che è svolta un po coi piedi, ma è solo per capire l'andamento generale della curva che sarà un piccolo arco di circonferenza che va da $ {0+2k\pi $ a $ \pi+2k\pi} $ , non definitta in questi due punti,
tutta posta sul primo e secondo quadrante, e max assuluto in $ \frac{1}{e} $. Quindi la f(x) si muoverà fra $ ]0,\frac{1}{e}] $ (l'immagine di f)

ora la domanda dell'esercizio è:
è limitata in $ [\displaystyle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}}] $???
Spero di essermi spiegato meglio

[korkey]

Per la monotonia vedo che la f(x) cresce tra]0,$ \frac{1}{e} $]
e decresce tra[$ \frac{1}{e} $,0[

scusate ho sbagliato ho invertito la x con f(x)

cresce tra ]0,$ \frac{\pi}{2} $] e decresce tra [$ \frac{\pi}{2} $,0[

[flexwifi]

Secondo me non e' limitata perche' il limite della funzione in 0 e' infinito e 0 direi che appartiene all'intervallo [$ -\frac{\pi}{2} $, $ \frac{\pi}{2} $]

[FeddyStra]

Allora ho calcolato il limite proprio in questi due punti ed ho trovato che è uguale a 0 (discontinuita eliminabile)

$ \displaystyle e^{\frac 1 {| \sin x |}}}\ge e $ perchè $ \displaystyle \frac 1 {| \sin x |}}\ge1 $. Quindi non ci può essere un punto in cui il limite sia $ 0 $.
Infatti $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} e^{\frac 1 {| \sin x |}}=+\infty $.

[korkey]

Ragazzi mi sa che ho fatto un casino
la domanda è sempre quella se f(x) è limitata in [$ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} $], ma la f(x) non è

$ e^{\frac{1}{|senx|} $

ma f(x)=$ \diplaystyle e^{\frac{-1}{|senx|} $

vi avevo dato la funzione sbagliata, mentre io continuavo a ragionare su quella corretta. Oops

[Martino]

AAaaaahhnnnnn!

Allora ok

Sì è limitata, basta osservare che la funzione esponenziale è limitata in $ ]-\infty,-1] $.