sugli integrali...come si risolve questo?

[pinco]

salve ragazzi
il mio libro si testo (ultimo anno di liceo scientifico) presenta questo argomento: integrali di particolari funzioni irrazionali.
per trattarlo dice: supponiamo di dover calcolare $ \int f(x; \sqrt {ax^2+bx+c})dx $ dove f è una funziona razionale di $ x $ e di $ \sqrt{ax^2+bx+c} $: per risolverli si applica la sostituzione di Eulero, ponendo $ \sqrt{ax^2+bx+c}=t-x\sqrt{a} $ se $ a>0 $. Fa poi una serie di esempi, calcolando $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx $ oppure $ \int\frac{1}{\sqrt{2+x^2}}dx $, insomma tutti integrali dove la x compare solo sotto il segno di radice...ora la mia domanda è: se f è una funziona razionale di x e di $ ax^2+bx+c $ allora potrei anche trovarmi la x fuori dal segno di radice? o la x di cui f è funzione rarionale è quella elevata al quadrato e poi messa sotto radice?
secondo me la x di cui f è funzione razionale deve stare fuori radice, quindi quella che sta sotto radice è quella che dà l'espressione radicale di cui f è funzione razionale...che ne dite?

[luca88]

Le sostituzioni di cui parli sono utili solo quando compare un polinomio di secondo grado sotto radice (se dovesse comparire fuori dal segno di radice allora useresti gli altri normali metodi di integrazione!). Credo quindi che il tuo libro volesse dire che $ f $ è funzione razionale di $ x $ e $ \sqrt{ax^2+bx+c} $

[pinco]

si esatto ho commesso un errore nel postare: f è funzione razionale di x e della radice del polinomio in x di secondo grado...la mia domanda resta.

[pinco]

poniamo la domanda in modo differente:
se dico che $ f(x;\sqrt{ax^2+bx+c}) $ è una funzione razionale di $ x $ e di $ \sqrt{ax^2+bx+c} $ allora se ho una espressione analitica del tipo $ \frac{2x^3}{\sqrt{x^2+6x-18}} $ devo considerare $ 2x^3 $ e $ \sqrt{x^2+6x-18} $ come le due variabili indipendenti su cui opera la funzione $ f $ con la particolarità che la seconda (quando dico seconda intendo il radicale) è a sua volta una funzione della prima?

[Apocalisse86]

ciao...
la notazione $ \displaystyle \int f(x;\sqrt{ax^2+bx+c})dx $ indica che f è funzione razionale dei due argomenti indicati. In parole povere indica i "modi" in cui può apparire la "x" cioè sia come una semplice funzione razionale di x di primo grado (che può essere al numeratore e/o al denominatore) sia come una funzione razionale di secondo grado però sotto il segno di radice...

esempio:

1)$ \displaystyle \int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{-2x^2+3x-1}} $
si risolve con la sostituzione di Eulero ponendo $ \sqrt{-2x^2+3x-1}=t(x-1) $
oppure
2)$ \displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}dx $
si può risolvere applicando la sostituzione di Eulero $ \sqrt{x^2+x+1}=t-x $

Per farti capire il senso della notazione $ \displaystyle \int f(x;\sqrt{ax^2+bx+c})dx $ ti porto quest'altro esempio...
$ \displaystyle \int f( x, \sqrt{\alpha x+\beta}, \sqrt{\gamma x+\delta} )dx $ indica che f è una funzione razionale dei tre argomenti indicati come nel caso dell'integrale della funzione :

$ \displaystyle \int \frac{dx}{1+\sqrt{x} +\sqrt{x-1}} $

che tra l'altro si risolve con la sostituzione ( $ \sqrt{x} = t $ ) che lo riconduce al caso citato da te !!

spero di non averti confuso le idee... comunque l'integrazione delle funzioni irrazionali non è molto facile... ci sono tantissimi casi, tante sostituzioni standard (ad esempio sostituzione trigonometriche o iperboliche)...solo l'esercitazione e l'intuito ti possono aiutare...ciao!!

[pinco]

ok...va bien

[alessandro78]

ragazzi ho un urgente bisogno di risolvere questo integrale: please help me....
integrale da -30 a +30 di 3x" (900-x")/36000. ok grazie

[Apocalisse86]

L'integrale è questo ??

$ \displaystyle \int_{-30}^{30} \frac{3x^2(900-x^2)}{36000}dx $

se si... tieni presente che la funzione è pari quindi la riscrivi così (semplificando moltiplicando e portando fuori ottieni):

$ \displastyle \frac{2}{12000} \int_0^{30} (900x^2-x^4)dx $

$ \displaystyle \frac{1}{6000} \left [ 900\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5} \right]_0^{30} =540 $