Gruppi e chiarezza

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 25 mag 2007, 21:53

phun ha scritto:Sempre cosi presuntuosetto?
Questo è il modo in cui tratto chi non fa altro che spammare thread OT in questo forum. Se non ti piace, cambia forum.

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 22:04

Sì ma la distinzione sta proprio nel fatto che se guardi (Q;+,*) come un campo, allora ha senso parlare di zero e di unità ed essendo un campo gli elementi diversi dallo zero del campo formano un gruppo di cui 1 è l'elemento neutro. Se guardi (Q;+) come un gruppo allora il numero zero è l'elemento neutro, ed ha buoni motivi di essere chiamato zero poichè la notazione è additiva. Checchè tu ne voglia dire, il monoide (Q;*) non soddisfa gli assiomi di gruppo proprio perchè il numero 0 non è invertibile. Quando dico Q\{0} intendo che va tolto proprio il numero 0, che poi in questo specifico caso è anche lo zero del campo (Q;+,*) ma zero inteso come elemento neutro del gruppo additivo del campo. Il fatto che il gruppo (Q;+) possa ammettere una seconda operazione interna che rispetti, insieme alla prima, gli assiomi di campo, non ti autorizza a parlare di "zero" nel monoide (Q;*), poichè in esso l'elemento neutro rispetto alla * è 1, e non vi è alcun altro elemento "particolare". Inoltre come tu ben sai in un qualsiasi gruppo (quindi a maggior ragione nel tuo (Q;*)) valgono le leggi di cancellazione \forall a,b,c \in \mathbb{Q}, e succede che ab=ac \implies b=cpertanto , se (Q;*) fosse un gruppo in particolare varrebbero per a=0 e quindi dalla tua definizione seguirebbe che ad esempio 0*1=0*2 \implies 1=2. Nota bene che le leggi di cancellazione valgono per ogni a,b,c quindi anche per 0 che è nel tuo gruppo.

Per inciso: un anello non ha neutro moltiplicativo??? e i poveri anelli di polinomi su di un campo? e gli anelli di matrici su un campo? e le classi di resto modulo n? e gli interi di Gauss? e la somma diretta esterna di due campi qualsiasi?
Perfetto, grazie

Sperando che il provocatore di sopra
impari a rispondere come si deve.
Ultima modifica di phun il 25 mag 2007, 22:22, modificato 1 volta in totale.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 25 mag 2007, 22:06

phun ha scritto:Sperando che il provocatore di sopra
impari a rispondere come si deve.
Forse sei tu che devi imparare ad usare il forum ed a leggere le definizioni.

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 22:20

Aspetta no
Qualcosa non mi torna ancora
0*1=0*2 implica 1=2.
Non penso.
Non essendoci l'inverso di zero poichè lo escludo
3.)Per ogni a appartenente a Q diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
non posso nemmeno moltiplicare a destra per l'inverso di zero.

Quindi l'esempio non è sufficente.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 25 mag 2007, 22:26

Rotfl.
Guarda che hydro ha fatto quell'esempio apposta per dimostrarti che (Q,*) non è un gruppo.
Conosci le dimostrazioni per assurdo?
http://mathworld.wolfram.com/ProofbyContradiction.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 22:31

Se (Q;*) fosse un gruppo in particolare varrebbero per a=0 e quindi dalla tua definizione seguirebbe che ad esempio 0*1=0*2 implica 1=2.

Dalla mia definizione non seguirebbe affatto.
in quanto per applicare la legge di cancellazione dovrei ammettere che lo zero è invertibile, e io lo ho escluso a priori.

Sai almeno leggere?

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 25 mag 2007, 22:34

Non c'è peggior idiota di chi non vuol capire.
Bannato.

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edriv
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Messaggio da edriv » 25 mag 2007, 22:36

phun ha scritto:Dalla mia definizione non seguirebbe affatto.
Non è che voglio infierire su questo povero topic, ma noi del sito delle olimpiadi possiamo vantarci di avere gli spammer più fantasiosi e contorti :D

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hydro
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Messaggio da hydro » 25 mag 2007, 22:38

phun ha scritto: 0*1=0*2 implica 1=2.
Non penso.
Non essendoci l'inverso di zero poichè lo escludo
3.)Per ogni a appartenente a Q diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
non posso nemmeno moltiplicare a destra per l'inverso di zero.
E' PROPRIO QUESTO IL PROBLEMA! la tua definizione di gruppo per (Q;*) fa cadere pressochè tutte le proprietà dei gruppi! Vuoi un altro esempio?
nel tuo "gruppo" (Q;*) lo 0 avrebbe ovviamente periodo infinito, poichè l'elemento neutro è 1 e $ 0^n=0 \neq 1 \forall n \in \mathbb{N} $. Pertanto il sottogruppo ciclico generato da 0 avrebbe ordine infinito (altra nota proprietà dei gruppi), ma questo è chiaramente assurdo perchè il "sottogruppo generato da 0" è {0} che ha ordine 1.
Oppure: in un gruppo sono SEMPRE risolubili le equazioni del tipo ax=b, qualunque siano a e b nel gruppo. Metti a=0 e b diverso da zero e prova a risolvere.

Nota bene che queste proprietà non me le sono inventate io, e sono scritte in qualsiasi libro di algebra, insieme ovviamente al fatto che OGNI elemento del gruppo è invertibile. E se sono uguali dappertutto, un motivo ci sarà, no?

lukra
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Messaggio da lukra » 25 mag 2007, 23:48

Scusate ma vedo qualcosa che no va.

Male l'esempio del sottogruppo ciclico
Ora per calcolare l'ordine si deve per forza usare l'invertibilità
Ma il ragazzo la ha esclusa per elementi nulli
a^p=a^t---->a^(p-t)=1

Male l'esempio della risolutibilità
Anche li si richiede che un elemento nullo sia invertibile
cosa che il ragazzi ha escluso

Male pure
insieme ovviamente al fatto che OGNI elemento del gruppo è invertibile.
Anche tutti gli elementi del gruppo del ragazzo sono invertibili
ma la sua definizione di Gruppo esclude lo zero.
Si tratta di una definizione diversa, ma validissima

Quindi vorrei anche io sapere come mai non siete d'accordo con lui

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Martino
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Messaggio da Martino » 26 mag 2007, 00:50

lukra ha scritto:...Quindi vorrei anche io sapere come mai non siete d'accordo con lui
Credo che il punto sia questo: non ha senso dire che un gruppo è un insieme con una operazione binaria interna associativa e con un elemento neutro 1, tale che "ogni elemento diverso da 0 ammette inverso", semplicemente perché non abbiamo postulato l'esistenza dell'elemento 0 nel gruppo, né l'abbiamo definito, non sappiamo cosa significhi. Con Q questa definizione "funziona" perché fatalità in Q c'è un elemento che per altri motivi chiamiamo zero.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"

lukra
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Messaggio da lukra » 26 mag 2007, 01:21

No funziona in ogni Campo quella definizione.
E zero ha senso come termine solo in un campo
appunto per la "fortunata coincidenza" che fortunata non è.
Quindi il ragazzo evidentemente parla di campi in generale
e la sua definizione funziona benissimo mi sembra.

Quindi continuo a non capire
Ma grazie comunque

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Martino
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Messaggio da Martino » 26 mag 2007, 01:36

Questo è quello che ha detto Phun:

1.)L'operazione è binaria e interna in Q, 2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico,
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso tale che a *a^-1=1, 4.) L'operazione è associativa, 5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)

e ha detto che questa è la "definizione corretta" (di cosa?). Ora, non è chiaro come mai per definire cosa sia un gruppo (se è questo che si sta definendo) si debba tirare in ballo l'insieme Q dei numeri razionali. Inoltre non è chiaro perché per definire cosa sia un gruppo si debba passare per i campi.

Se Phun voleva definire cosa sia un campo, ancora non è chiaro cosa c'entri Q, ma immagino sia per esemplificare. In tal caso comunque non è vero che un campo è un gruppo moltiplicativo perché lo zero non è invertibile. A meno che nella definizione di gruppo si imponga che lo zero sia l'unico elemento non invertibile. Ma ovviamente questa condizione non ha senso che valga per un gruppo qualsiasi, perché non tutti i gruppi sono ottenuti da campi.

Purtroppo non so come spiegarmi meglio, se non riusciamo a capirci, pazienza. Pace. Non insisto oltre.

Buona notte :)
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 26 mag 2007, 01:57

Mamma mia, ancora...
Esistono delle definizioni concordate a livello planetario da decenni. Perché dobbiamo inventarci le nostre e non capire più un tubo?? Infatti, se Tizio ha aperto questo thread, è perché è arrivato al punto di non capire più un tubo, mi sembra...

Al di là di questo, vedi se le osservazioni che seguono riescono a mettere un po' di chiarezza.
Consideriamo l'insieme $ Q' = \{ (q,q) | q\in \mathbb{Q}\} $.
Dotiamo Q' delle operazioni +' e *', in modo che rispecchino quelle usuali sui razionali. Ovvero tali che a+b=c se e solo se (a,a)+'(b,b)=(c,c), etc etc.
Ora, Q' è un campo? Secondo il Mondo sì, ma secondo la definizione di phun no, in quanto (0,0) è diverso da 0, eppure non ha inverso moltiplicativo, quindi non è un gruppo rispetto a *'!

Ti basta come prova che la definizione di campo di phun non è coerente con quella universalmente accettata?
Probabilmente no, ora mi verrai a dire che nella teoria degli insiemi di phun, (0,0)=0, ci scommetto.

lukra
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Messaggio da lukra » 26 mag 2007, 09:10

A meno che nella definizione di gruppo si imponga che lo zero sia l'unico elemento non invertibile. Ma ovviamente questa condizione non ha senso che valga per un gruppo qualsiasi, perché non tutti i gruppi sono ottenuti da campi.
Esattamente, lui parla di campi, e pure io credo abbia preso
Q per semplificare, come esempio di campo
Quindi nella sua definizione (Q.*) è in effetti un gruppo e (Q,*.+)
un campo, se si aggiunge la proprietà distributiva del prodotto
Probabilmente no, ora mi verrai a dire che nella teoria degli insiemi di phun, (0,0)=0, ci scommetto.
Esattamente
E guarda che quello che dice vale per ogni campo
dove nelle parte addittiva si definisce l'elemento neutro addittivo

Quindi quello che lui chiama zero in Q, correttamente,
è nel tuo caso la zero addittivo, e cioè (0,0)=0 con 0 elemento neutro addittivo.

Perciò si, secondo quella corretta definizione è un campo.
Quindi continuo a non capire
E non sono il solo , date le scorrette confutazioni che sono state proposte
Esistono delle definizioni concordate a livello planetario da decenni. Perché dobbiamo inventarci le nostre e non capire più un tubo??
E guarda la matematica è piena di definizioni alternative di cose identiche,
quindi non mi scandalizzarei molto, sopratutto quando sono corrette
e tuttosommato comode.

Cito il ragazzo, in quanto mi sembra non possa risponderti in quanto
Bannato
Ma allora ci tocca usare due definizioni?
Una se si usa Q?
E una se si usa Q/0?
O c'è una convenzione accettata universalmente.

Io credo che ci siano diverse definizioni di gruppo
che si basano sul buon senso.
Ma molti studiano meccanicamente e dogmaticamente
E si fissano su una sola.
Quindi ti dicono che (Q,*) non è un gruppo

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