su un lemma del teo di convergenza della serie di Fourier

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fricke
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su un lemma del teo di convergenza della serie di Fourier

Messaggio da fricke » 12 mag 2007, 16:29

Salve!

scusate l'intervento, è la prima volta che mando un post a questo forum, me ne sono letti un bel pò e francamente spero di non ledere a nessuna regola chiedendovi questa cosa.

Studiando la convergenza di Fourier, sono incappato in un lemma (di cui non so il nome, ma, da ricerche su internet credo si chiami "nucleo di Dirichlet") che afferma
$ \forall n\in N_0: \frac{1}{2} + cos{y} + cos{2y} +\cdots + cos{ny} = \frac{sin({(n+\frac{1}{2})y})}{2sin{\frac{y}{2}}} $

a questo punto, procedendo a dimostarlo, nell'ipotesi del passo (vera n si verifica n+1), si leggono questi passaggi:
$ \forall y\in R:\\ \\ (1)\frac{sin({(n+\frac{1}{2})y})}{2sin{\frac{y}{2}}} + cos{((n+1)y)}=\\ \\(2)=\frac{sin({(n+\frac{1}{2})y}) + 2sin{\frac{y}{2}} cos({(n+1)y})} {2sin{\frac{y}{2}}}=\\ \\(3)=\frac{sin({(n+\frac{1}{2})y}) cos{\frac{y}{2}} - cos({(n+1)y})sin{\frac{y}{2}}+ 2sin{\frac{y}{2}} cos({(n-1)y})} {2sin{\frac{y}{2}}}=\\ \\(4)=\frac{sin({(n+\frac{1}{2})y}) + sin{\frac{y}{2}} cos({(n+1)y})} {2sin{\frac{y}{2}}}=\\ \\(5)=\frac{sin({((n+1)+\frac{1}{2})y})}{sin{\frac{y}{2}}}\\ $

ora, premesso che a me serve solo arrivare dal passo (1) al passo (5), vi giuro che non riesco a trovare una giusta interpretazione a quanto scritto. ho anche dubbi sul cos (n-1) del passo 3, che forse è un più, ma non dandomi ragione di nulla, non ne ho la più pallida idea. magari è solo questione di formule trigonometriche, ma le ho applicate tutte, e non ne trovo nessuna che fa al caso mio.

sono convinto che ci sia qualcosa di madornalmente sbagliato, dunque credo che, l'approccio migliore sia di procedere a confutare quanto scritto, più che a giustificarselo... se faccio progressi vi faccio sapere!
Spero di non sgarrare con il Latex, che è la prima volta che lo uso.

Grazie, attendo risposte!
se non sapessi di non essere io direi proprio di essere io: stessa eleganza, stesso stile...

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Messaggio da HiTLeuLeR » 12 mag 2007, 21:06

Qualcuno preferisce la via del mare: $ \displaystyle\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos(ky) = \frac{1}{2} + \Re\!\left(\sum_{k=1}^n \exp(iky)\right) $.

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fricke
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Messaggio da fricke » 14 mag 2007, 17:05

HiTLeuLeR ha scritto:Qualcuno preferisce la via del mare: $ \displaystyle\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos(ky) = \frac{1}{2} + \Re\!\left(\sum_{k=1}^n \exp(iky)\right) $.

ehm, so che logica vuole che a questo punto dovrei ringraziarti... ma al momento le mie perplessità matematiche non mi permettono di farlo! :?
So che non è nella logica di un matematico ostinarsi su una dimostrazione, ma, in qualità di studente, vorrei proprio capire cosa voleva dire la mia prof, perchè se no non ce ne salto fuori da sta cosa!

e comunque, giù la maschera: non ho capito a cosa allude la tua soluzione....:roll: potresti chiarirmi un pò il tutto, ho paura che mi manchino dei passaggi...

P.S. grazie comunque è bello avere un mentore da qualche parte nel mondo... :lol:
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Messaggio da HiTLeuLeR » 14 mag 2007, 20:32

fricke ha scritto: ehm, so che logica vuole che a questo punto dovrei ringraziarti... ma al momento le mie perplessità matematiche non mi permettono di farlo! :?
Ti confesso che, in realtà, non sarebbe la logica a volerlo, bensì la buon costume.
fricke ha scritto: So che non è nella logica di un matematico ostinarsi su una dimostrazione, ma, in qualità di studente, vorrei proprio capire cosa voleva dire la mia prof, perchè se no non ce ne salto fuori da sta cosa!
In tal caso, chiedilo direttamente alla tua prof: sono certo che sarà ben contenta di potertelo spiegare...
fricke ha scritto:[...] e comunque, giù la maschera: non ho capito a cosa allude la tua soluzione... :roll: potresti chiarirmi un pò il tutto, ho paura che mi manchino dei passaggi...
Non mi vesto da carnevale che oramai sono cent'anni! Non chiedermi, perciò, quel che, pur volendo, non ti posso dare. Per il resto, osserva che l'espressione $ \displaystyle \sum_{k=0}^n\exp(iky) $ rappresenta la somma dei primi $ n+1 $ termini di una progressione geometrica di ragione $ \exp(iy) $, e di conseguenza (salvo nei casi in cui $ y = 2m\pi $, con $ m\in\mathbb{Z} $) è uguale a $ \displaystyle \frac{e^{i(n+1)y} - 1}{e^{iy} - 1} $.
fricke ha scritto:P.S. grazie comunque è bello avere un mentore da qualche parte nel mondo... :lol:
Da qualche parte nel mondo è forse come a dire dalle parti della facoltà di ingegneria di Reggio Cal.? Mentore, in ogni caso, è proprio una bruttissima parola...

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Messaggio da ma_go » 14 mag 2007, 20:48

uhm...
francamente, quei conti mi lasciano un tantino perplesso, dato che dal passaggio 2 al passaggio 4, sostanzialmente ti sbarazzi di un fattore 2 (dicendo implicitamente che il secondo dei due addendi a numeratore è 0... cosa che mi piace poco!).

un'idea sensata sarebbe lavorare a ritroso: cioè cercare di smontare i pezzi nella formula finale nel modo giusto.

quello che probabilmente voleva usare (e forse quello che cerchi tu) la tua prof è la formula di werner (nome inutile per una cosa discretamente banale):
$ 2\sin \alpha \cos \beta = \sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha - \beta) $
nel tuo caso, hai un bel fattore 2 dove ti serve applicarla, cosa che ti fa parecchio piacere, per evitare denominatori, e se sostituisci $ \alpha=y/2 $ e $ \beta=(n+1)y $, cancelli esattamente il primo addendo... toh, che bello! ^^

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