domanda sul differenziale

[pinco]

allora, non ce la faccio più...non ci sto capendo niente...per favore aiutatemi
allora, il mio libro di testo presenta l'argomento differenziale nel seguente modo:
parte dalla relazione che definisce il concetto di derivata, cioè
limitedeltaxtendea0 di deltayfrattodeltax = derivataprima
poi, procede alla scrittura fuori dal segno di limite, arrivando alla formulazione
deltayfrattodeltax = derivataprimaperdeltax + epsilonperdeltax
dove epsilon è funzione di deltax e per deltax che tende a 0, anche epsilon tende a 0.
Detto ciò, battezza la quantità
derivataprimaperdeltax
differenziale della funzione, e fino a qui ci sono.
Poi dice: nel caso particolare in cui si ha y=x come funzione, si avrà dalla formula del differenziale, essendo derivatay=1
differenzialey=differenzialex=1perdeltax
e si deduce quindi che il differenziale della x coincide col suo incremento
Inoltre il differenziale di una funzione è il prodotto della derivata della funzione per il differenziale della x
A questo punto mi domando:
1) il differenziale della x coincide sempre col suo incremento deltax? o coincide con questo incremento solo se si considera la funzione y=x?
2) che cos'è di preciso il differenziale della x?
3) il differenziale di y è il prodotto della derivata di y per il differenziale della x o è il prodotto della derivata della y per il deltax? nella formula del differenziale y (cioè, differenzialey = derivatay per deltax) si può sostituire differenzialex a delatax sempre, o si può fare questa sostituzione solo quando si tratta la funzione y=x?

Per favore rispondete a ogni singola domanda perchè sono molto confuso e il mio prof mi ha confuso ancora di più
grazie

[Nonno Bassotto]

Ehm... iltuotentativodiscritturadiformulematematichetuttoattaccatoèlacosamenoleggibilechesiacapitatasuquestoforum


Ciò detto, prova a dare un'occhiata a questo topic, dove dò un'idea di cosa sia il differenziale.

Finché si lavora con funzioni di una variabile il concetto di differenziale è completamente inutile, comunque.

...E la prossima volta prova a fare una ricerchina sul forum prima di postare.
Ciao

[alberto.ravagnani]

La derivata $ f'(x) $ di una funzione $ f(x) $ in un punto $ x $ generico del suo dominio è il rapporto tra l'incremento $ delta y $ e $ delta x $, quando quest'ultimo tende a zero. Si ha pertanto:
$ f'(x)=lim (delta y/delta x) $ per $ deltax $ che tende a zero. Se $ dy=f'(x)dx $ per definizione si ha $ f'(x)=dy/dx $, che è la definizione di derivata prima tramite il differenziale.
Bisogna sempre tener presente che ha senso parlare di differenziale solo se si sta considerando una funzione...ricorda che y è sempre $ y=f(x) $.
Differenziale di x e delta x sono due cose diverse...semplificando le cose il differenziale si ha quando delta x tende a zero. Ha inoltre poco senso secondo me parlare di differenziale di x o di y, dal momento che i due andrebbero considerati assieme perchè legati. Si valuta generalmente il rapporto $ dy/dx=df(x)/dx $ per definire la derivata e risolvere le equazioni differenziali del primo ordine.
Spero di non aver scritto stupidate!
Comunque se stai facendo la quarta o la quinta superiore non preoccuparti troppo...il concetto di differenziale non è superimportante per questi studi. Tornerà utile semmai nelle equazioni differenziali, come dicevo.

[Nonno Bassotto]

Ecco... mi dispiace dirtelo ma il differenziale non è quello che ti ha definito alberto. In effetti alberto non ha nemmeno dato una definizione precisa.

In breve prendi una funzione f derivabile in x e sia f'(x) la derivata in quel punto. Allora il differenziale di f in x è una funzione da R in R, ed è quella funzione che manda t nel prodotto f'(x)t.

Sul perché questa definizione dovrebbe formalizzare l'idea intuitiva che ha cercato di dare alberto, ho provato a scrivere qualcosa nel thread che ho linkato.

Ciao

[alberto.ravagnani]

Forse mi sono spiegato un po' male...non avevo alcuna intenzione di dare una definizione di differenziale, anche perchè consultando dei testi per le superiori ho trovato definizioni diverse e peraltro tutte confutate da quanto scritto in vari topic di questo forum. Volevo solo precisare che per un corso di scuola superiore è sufficiente sapere che $ f'(x)=dy/dx $ e accontentarsi di qualche concetto "semplificato". Basta guardare i quesiti proposti alla maturità per vedere che il differenziale non è esattamente al centro degli interessi! Lungi da me essere esaustivo sull'argomento! Mi scuso con Nonno Bassotto per il fraintendimento..
Buon lavoro!

[Nonno Bassotto]

Non ti preoccupare. Volevo solo distinguere tra la vera e propria definizione e l'idea intuitiva che si dà di differenziale. Spero che tu non te la sia presa per la correzione.

In effetti sui libri di liceo non si trova mai la definizione esatta, perché è un concetto che non serve a molto finché si lavora con funzioni di una variabile. Diventa utile quando si lavora in più dimensioni (ad esempio funzioni da R^2 a R) e soprattutto in dimensione infinita.

[alberto.ravagnani]

Figurati! Non me la prendo assolutamente! Tu hai precisato e chiarito, da buon matematico! Anzi..ti ringrazio...adesso ne so qualcosa di più anch'io!

[evans]

Scusate riprendo la discussione e vi chiedo se è formalmente corretta, come spesso si trova su alcuni libri di fisica, la scrittura:

dL=dU (thm energia cinetica)

quello che non mi è chiaro è se matematicamete il differenziale esatto dU può essere associato ad un dL che non è un differenziale esatto, oppure ho detto solo baggianate?

poi:
E' corretto parlare di dU come "variazione infinitesima" e di dL come quantità infinitesima?

grazie