Good luck.Avventuriamoci nelle cubiche.
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DarkSepiroth
- Messaggi: 68
- Iscritto il: 30 ago 2006, 14:49
Avventuriamoci nelle cubiche.
Sia $ \mathcal{D} $ una cubica irriducibile di $ \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) $ con una cuspide. Dimostrare che $ \mathcal{D} $ ha al più un flesso. Sarà che ero stanco, ma ieri sera ci ho messo due ore per farlo Good luck.
Good luck.
non so se va...
innanzitutto,a meno di proiettività,posso supporre che $ \mathcal{D} $ abbia la cuspide in [1 0 0] con tangente principale $ x_1 = 0 $.
Ora,l'equazione di $ \mathcal{D} $ risulta $ a{x_1}^3 + b{x_2}^3 + c{x_1}^2{x_2} + d{x_1}{x_2}^2 + e{x_0}{x_2}^2 = 0 $.
I punti di flesso di questa curva sono quelli non singolari che ha in comune con la propria hessiana.Ora,l'equazione dell'hessiana è $ (dx_1 + 3bx_2){x_1}^2 = 0 $,che è l'unione di tre rette.Due di queste sono la tangente principale di [1 0 0],per cui le intersezioni della terza con $ \mathcal{D} $ saranno i punti di flesso.I punti di intersezione sono [1 0 0](quindi con molteplicità 2),e un eventuale terzo punto,che sarà quindi l'unico punto di flesso della curva.
innanzitutto,a meno di proiettività,posso supporre che $ \mathcal{D} $ abbia la cuspide in [1 0 0] con tangente principale $ x_1 = 0 $.
Ora,l'equazione di $ \mathcal{D} $ risulta $ a{x_1}^3 + b{x_2}^3 + c{x_1}^2{x_2} + d{x_1}{x_2}^2 + e{x_0}{x_2}^2 = 0 $.
I punti di flesso di questa curva sono quelli non singolari che ha in comune con la propria hessiana.Ora,l'equazione dell'hessiana è $ (dx_1 + 3bx_2){x_1}^2 = 0 $,che è l'unione di tre rette.Due di queste sono la tangente principale di [1 0 0],per cui le intersezioni della terza con $ \mathcal{D} $ saranno i punti di flesso.I punti di intersezione sono [1 0 0](quindi con molteplicità 2),e un eventuale terzo punto,che sarà quindi l'unico punto di flesso della curva.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
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(Mary-Lou --- Sonata Arctica)