mi è venuto un dubbio

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frengo
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Messaggio da frengo » 09 feb 2007, 10:08

allora,bisogna fare un pò d'ordine.

1)UN INSIEME $ I $ E' NUMERABILE SE E SOLO SE ESISTE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA ESSO STESSO E $ \mathbb{N} $.
osservazioni:
non valgono più considerazioni ovvie del tipo "$ \mathbb{N} $x$ \mathbb{N} $ è chiaramente maggiore di $ \mathbb{N} $".per dimostrare che un insieme ha cardinalità maggiore di un altro bisogna dimostrare che OGNI FUNZIONE TRA I DUE INSIEMI O NON E' INIETTIVA,O NON E' SURGETTIVA(vabbè,dipende da qual'è il più piccolo...).

2) $ \mathbb{Z} $ ha cardinalità uguale a quella di $ \mathbb{N} $.
dimostrazione:
eccoti la funzione biunivoca:
$ f(n)=\frac{n}{2} $ se n è pari
$ f(n)=-\left[\frac{n+1}{2}] $ se n è dispari.
fine.

3) $ \mathbb{R} $ ha cardinalità maggiore di $ \mathbb{N} $
dimostrazione:
intanto ci riduciamo all'intervallo $ [0,1) $ (con l'arcotangente).
poi,supponiamo che esista una funzione biunivoca da $ \mathbb{N} $ a $ [0,1) $.scriviamola:
$ f(1)=0,a_{1,1}a_{1,2}a_{1,3}a_{1,4}...a_{1,n}.... $
$ f(2)=0,a_{2,1}a_{2,2}a_{2,3}a_{2,4}...a_{2,n}.... $
....
....
$ f(m)=0,a_{m,1}a_{m,2}a_{m,3}a_{m,4}...a_{m,n}.... $
....
....

dove gli $ a_{i,j} $ sono cifre decimali.
prendiamo un numero reale $ 0,b_1b_2b_3...b_n... $ tale che $ b_i\neq a_{i,i} $ per ogni i. nella nostra funzione che abbiamo costruito,QUALUNQUE ESSA SIA, non è immagine di nessun n naturale,quindi la funzione,QUALUNQUE ESSA SIA,non è surgettiva.non è possibile costruire una funzione biunivoca da $ \mathbb{N} $ a $ [0,1) $,e quindi neanche da $ \mathbb{N} $ a $ \mathbb{R} $.fine.


ora,se hai la cortesia di esprimere i tuoi dubbi e dirmi dove Cantor ha "sbagliato", senza appellarti a fonti filosofiche o a quanto io non ci capisco di matematica,te ne saremmo tutti grati.
Ultima modifica di frengo il 09 feb 2007, 13:48, modificato 3 volte in totale.

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 09 feb 2007, 10:30

visto che si parla di insiemi numerabili.
Dati A e B discreti. Se $ ~A\subseteq B $ e $ ~Card(A)=Card(B) $ allora $ ~A=B $. Giusto :?:
me l'ero posto per determinare se due stringhe sono uguali
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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fph
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Messaggio da fph » 09 feb 2007, 11:29

SkZ ha scritto:visto che si parla di insiemi numerabili.
Dati A e B discreti. Se $ ~A\subseteq B $ e $ ~Card(A)=Card(B) $ allora $ ~A=B $. Giusto :?:
me l'ero posto per determinare se due stringhe sono uguali
Non so cosa tu intenda per "discreti", comunque se gli insiemi infiniti sono ammessi un semplice controesempio è $ \mathbb N $ e $ \mathbb Z $.

Complimenti a Frengo per il post, era ora di fare un po' di chiarezza e riportare per bene la dimostrazione. :D
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 09 feb 2007, 13:25

fph ha scritto:Complimenti a Frengo per il post, era ora di fare un po' di chiarezza e riportare per bene la dimostrazione. :D
L'unica critica che si può fare a quella dimostrazione è che implicitamente usa l'unicità della scrittura decimale di un reale, cosa che non abbiamo gratis.
Per averla basta imporre che un'espressione decimale di un numero non possa finire per infiniti 9. Quindi ora vi è un solo modo di scrivere ogni reale tra 0 e 1, e tutti gli $ a_{i,j} $ sono ben definiti.
Poi dobbiamo accertarci che nemmeno i $ b_i $ siano definitivamente 9, altrimenti potremmo ricreare un reale che avevamo già, ma scritto in modo diverso. Ci sono moltissimi modi di farlo e vanno tutti bene, per esempio quello di porre $ b_i=1 $ se $ a_{i,i}=0 $ e $ b_i=0 $ altrimenti.
Nota: così ho considerato solo l'intervallo [0,1), ma tanto meglio.

polibio

Messaggio da polibio » 09 feb 2007, 15:04

frengo ha scritto:allora,bisogna fare un pò d'ordine.

1)UN INSIEME $ I $ E' NUMERABILE SE E SOLO SE ESISTE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA ESSO STESSO E $ \mathbb{N} $.
osservazioni:
non valgono più considerazioni ovvie del tipo "$ \mathbb{N} $x$ \mathbb{N} $ è chiaramente maggiore di $ \mathbb{N} $".per dimostrare che un insieme ha cardinalità maggiore di un altro bisogna dimostrare che OGNI FUNZIONE TRA I DUE INSIEMI O NON E' INIETTIVA,O NON E' SURGETTIVA(vabbè,dipende da qual'è il più piccolo...).

2) $ \mathbb{Z} $ ha cardinalità uguale a quella di $ \mathbb{N} $.
dimostrazione:
eccoti la funzione biunivoca:
$ f(n)=\frac{n}{2} $ se n è pari
$ f(n)=-\left[\frac{n+1}{2}] $ se n è dispari.
fine.

3) $ \mathbb{R} $ ha cardinalità maggiore di $ \mathbb{N} $
dimostrazione:
intanto ci riduciamo all'intervallo $ [0,1) $ (con l'arcotangente).
poi,supponiamo che esista una funzione biunivoca da $ \mathbb{N} $ a $ [0,1) $.scriviamola:
$ f(1)=0,a_{1,1}a_{1,2}a_{1,3}a_{1,4}...a_{1,n}.... $
$ f(2)=0,a_{2,1}a_{2,2}a_{2,3}a_{2,4}...a_{2,n}.... $
....
....
$ f(m)=0,a_{m,1}a_{m,2}a_{m,3}a_{m,4}...a_{m,n}.... $
....
....

dove gli $ a_{i,j} $ sono cifre decimali.
prendiamo un numero reale $ 0,b_1b_2b_3...b_n... $ tale che $ b_i\neq a_{i,i} $ per ogni i. nella nostra funzione che abbiamo costruito,QUALUNQUE ESSA SIA, non è immagine di nessun n naturale,quindi la funzione,QUALUNQUE ESSA SIA,non è surgettiva.non è possibile costruire una funzione biunivoca da $ \mathbb{N} $ a $ [0,1) $,e quindi neanche da $ \mathbb{N} $ a $ \mathbb{R} $.fine.


ora,se hai la cortesia di esprimere i tuoi dubbi e dirmi dove Cantor ha "sbagliato", senza appellarti a fonti filosofiche o a quanto io non ci capisco di matematica,te ne saremmo tutti grati.
il mio dubbio è che se per certi elementi dell'insieme usi una funzione e per altri un'altra la corrispondenza biunivoca va farsi un giro, ma sono anche disposto ad accettare il "trucco", il prezzo da pagare però è che ci giochiamo la diagonale di cantor

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frengo
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Messaggio da frengo » 09 feb 2007, 15:10

e se io ti dicessi che la mia funzione è equivalente a
$ f(n)=(-1)^n\left[\frac{n+1}{2}\right] $
che mi dici?
questa è una funzione "unica",è surgettiva e iniettiva, ha dominio $ \mathbb{Z} $ e codominio $ \mathbb{N} $.Adesso,potresti anche accettare la diagonale di Cantor.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 09 feb 2007, 15:13

Non facciamo il solito errore (golla, polibio & co.) di confondere una funzione con una sua (eventuale) formula. Sono due oggetti ben distinti!

polibio

Messaggio da polibio » 09 feb 2007, 17:56

frengo ha scritto:e se io ti dicessi che la mia funzione è equivalente a
$ f(n)=(-1)^n\left[\frac{n+1}{2}\right] $
che mi dici?
questa è una funzione "unica",è surgettiva e iniettiva, ha dominio $ \mathbb{Z} $ e codominio $ \mathbb{N} $.Adesso,potresti anche accettare la diagonale di Cantor.
temo che sitratti sembre di un algoritmo a due funzioni alternate(ive)

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thematrix
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Messaggio da thematrix » 09 feb 2007, 18:30

Quella cosa che ha scritto,è una funzione da N a Z.
Infatti,a ogni valore di N assegna uno e un solo valore di Z.
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Messaggio da SkZ » 09 feb 2007, 18:35

fph ha scritto:Non so cosa tu intenda per "discreti",
finiti. Sugli infiniti non funziona, ma tanto stringhe infinite non le posso passare ai programmi ;)

@polibio
una funzione da A in B e' una relazione che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.
Punto e Basta.
La funzione identica da A in A non e' $ ~f(x)=x $, ma quella relazione che ad ogni elemento di A associa se stesso. $ ~f(x)=x $ e' solo una rappresentazione algebrica comoda da scrivere.
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polibio

Messaggio da polibio » 09 feb 2007, 20:33

quando viene calcolato il valore assoluto di un certo dominio non si applica una certa funzione ad ogni 'X'

quando viene estratto un valore assoluto si fa così

se x > 0 allora y = x * 1
se x < 0 allora y = x * -1

è chiaro 'sto fatto?

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 09 feb 2007, 21:00

polibio, ma leggi quello che ti scriviamo??
Quelle che ti hanno descritto nei post precedenti sono funzioni.
Quelle di cui parli tu sono formule di funzioni, che sono un'altra cosa.
Se non sai cos'è una funzione (e che differenza c'è tra una funzione e una formula), vai a leggerti la definizione, o chiedi.
Non ha senso che continui a blaterare contraddicendo tutti se è evidente che non sai di cosa stai parlando.

polibio

Messaggio da polibio » 09 feb 2007, 21:14

MindFlyer ha scritto:polibio, ma leggi quello che ti scriviamo??
Quelle che ti hanno descritto nei post precedenti sono funzioni.
Quelle di cui parli tu sono formule di funzioni, che sono un'altra cosa.
Se non sai cos'è una funzione (e che differenza c'è tra una funzione e una formula), vai a leggerti la definizione, o chiedi.
Non ha senso che continui a blaterare contraddicendo tutti se è evidente che non sai di cosa stai parlando.
se ci vedi...

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 09 feb 2007, 22:54

polibio ha scritto:quando viene calcolato il valore assoluto di un certo dominio non si applica una certa funzione ad ogni 'X'
Sbagliato, quando si applica il valore assoluto si applica una precisa funzione ad ogni x. Mi sa che ti manca questa...
Wikipedia ha scritto:In matematica, una funzione f da X in Y consiste in:

1) un insieme X detto dominio di f

2) un insieme Y detto codominio di f

3) una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed uno solo elemento f(x) in Y.
Nel valore assoluto il dominio è (ad esempio) R, il codominio è (ad esempio, volendo anche tutto R) R+ unito allo zero, la legge è quella che hai scritto tu.

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frengo
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Messaggio da frengo » 09 feb 2007, 23:07

ma senti,mi fai un piacere:
definiscimi cos'è una funzione,per favore (sto parlando a polibio,naturalmente).

se stiamo parlando di due concetti diversi,è chiaro che è inutile continuare questa discussione. io,come Cantor e tutti gli altri sul forum,pensiamo che la definizione sia quella di wikipedia,e che quindi $ f(x)=|x| $ sia una funzione, come anche $ f(n)=(-1)^n\left[\frac{n+1}{2}\right] $ lo sia(ed è anche biunivoca da N in Z).
se la pensi in un altro modo(come la pensavi in un altro modo su cos'è un numero naturale, un numero reale e un insieme numerabile,ma hai fatto marcia indietro),continua a creare la tua matematica che parte dalle tue definizioni,ma non dire che Cantor aveva sbagliato.semplicemente,partiva da presupposti diversi.

EDIT: ah,e visto che ci sei,definiscimi anche cos'è un "algoritmo a due funzioni alternate(ive)"

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