Limite con sommatoria (abb. facile)

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Ani-sama
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Limite con sommatoria (abb. facile)

Messaggio da Ani-sama » 06 feb 2007, 19:40

Calcolare:

$ $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \exp \frac{k}{n}$ $

Ciao! :)
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 06 feb 2007, 20:03

carino e interessante (e' giusto il risultato?)
1-e
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Messaggio da Ani-sama » 06 feb 2007, 20:47

Ehmmm... quasi giusto :D
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Messaggio da SkZ » 06 feb 2007, 21:59

ti riferisci al segno? :D e chi lo dice che non possa venire negativa la sommatoria di termini positivi? :oops:
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hexen
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Messaggio da hexen » 25 feb 2007, 10:58

si ha

$ $ \frac 1 n \int_1^n e^{\frac{x-1}{n}}dx \leq \frac 1 n \sum_{k=1}^n e^{k/n} \leq \frac 1 n \int_1^n e^{x/n}dx$ $ per cui il limite è e-1
[url=http://davidpet.interfree.it/renato.html:3r47vsho]Stamattina hanno suonato alla porta. Sono andato ad aprire e...[/url:3r47vsho]
[url=http://davidpet.interfree.it/jabber/index.html:3r47vsho]Guida introduttiva a Jabber[/url:3r47vsho]

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Messaggio da SkZ » 25 feb 2007, 16:30

piu'semplicemente

$ $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \exp \frac{k}{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(e^\frac{1}{n}\right)^k$ $$ $=\frac{1}{n} \frac{e^\frac{1}{n}-e\cdot e^\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= e^\frac{1}{n}(1-e)\frac{\frac{1}{n}}{1-e^\frac{1}{n}}$ $ $ $= (e-1) e^\frac{1}{n} \frac{\frac{1}{n}}{e^\frac{1}{n}-1}$ $

facendo tendere n a infinito si ottine $ ~e-1 $
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Messaggio da talpuz » 26 feb 2007, 11:14

oppure si può semplicemente usare il fatto che le somme di riemann convergono all'integrale, quindi quel limite è l'integrale di e^x tra 0 e 1 :D

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