convoluzione
convoluzione
Ciao a tutti,
qualcuno mi sa dire come dimostrare che la convoluzione di due funzioni di$ L^2(R) $ è una funzione di $ L^2(R) $?Ho cercato in giro su internet ma non ho trovato niente e io sono riuscita al massimo a dimostrare che sta in $ L^1(R) $ (e non sono neanche sicurissima di non avere fatto errori).
Grazie mille
qualcuno mi sa dire come dimostrare che la convoluzione di due funzioni di$ L^2(R) $ è una funzione di $ L^2(R) $?Ho cercato in giro su internet ma non ho trovato niente e io sono riuscita al massimo a dimostrare che sta in $ L^1(R) $ (e non sono neanche sicurissima di non avere fatto errori).
Grazie mille
vedo che nessuno mi risponde...
Vediamo, io avevo pensato che se f(x) e g(x) appartengono a $ L^2(R) $ anche le loro trasformate $ \hat{f}(p) $ e $ \hat{g}(p) $ di fourier stanno in $ L^2(R) $.Se considero $ \hat{h}(p) = \hat{f}(p) \hat{g}(p) $ la sua antitrasformata è proprio $ (f * g)(x) $, quindi se $ \hat{h}(p) $ sta in $ L^2(R) $ ci sta anche la sua antitrasformata. Si tratterebbe quindi di dimostrare che il prodotto di due funzioni di $ L^2(R) $ è ancora in $ L^2(R) $ .
Spero che magari qualcuno riesca ad aiutarmi, anche con una mezza idea o magari qualcuno possa dirmi se il mio ragionamento è corretto. Grazie
Prima che qualcuno ci perda tempo..il prodotto di due funzioni di L^2(R) non necessariamente sta in L^2,quindi questo metodo non va bene.Aiuto...
Vediamo, io avevo pensato che se f(x) e g(x) appartengono a $ L^2(R) $ anche le loro trasformate $ \hat{f}(p) $ e $ \hat{g}(p) $ di fourier stanno in $ L^2(R) $.Se considero $ \hat{h}(p) = \hat{f}(p) \hat{g}(p) $ la sua antitrasformata è proprio $ (f * g)(x) $, quindi se $ \hat{h}(p) $ sta in $ L^2(R) $ ci sta anche la sua antitrasformata. Si tratterebbe quindi di dimostrare che il prodotto di due funzioni di $ L^2(R) $ è ancora in $ L^2(R) $ .
Spero che magari qualcuno riesca ad aiutarmi, anche con una mezza idea o magari qualcuno possa dirmi se il mio ragionamento è corretto. Grazie
Prima che qualcuno ci perda tempo..il prodotto di due funzioni di L^2(R) non necessariamente sta in L^2,quindi questo metodo non va bene.Aiuto...
Nel comitato dì accoglienza (la prima sezione del forum) trovi le regole del forum, alcune informazioni (nelle faq) e dei consigli su dove postare i post. Da questi post dovrebbe emergere chiaramente lo scopo del forum che è quello di fornire un "luogo" di incontro e di scambio per i partecipanti alle olimpiadi, dove scambiarsi consigli e problemi. La restante matematica (universitaria, ad esempio) è tollerata ma non incoraggiata.
Per venire al tuo problema, ti faccio osservare che la convoluzione tra due L^2 non è definita; prova ad esempio a pensare alla convoluzione di 1/x con se stessa su (1,inf).
Serve una L^1. In generale, la convoluzione tra una L^1 e una L^p è L^p e la sua p-norma è controllata dal prodotto delle due norme. Dunque, puoi al massimo dimostrare che la convoluzione tra L^1 e L^2 è L^2.
Per venire al tuo problema, ti faccio osservare che la convoluzione tra due L^2 non è definita; prova ad esempio a pensare alla convoluzione di 1/x con se stessa su (1,inf).
Serve una L^1. In generale, la convoluzione tra una L^1 e una L^p è L^p e la sua p-norma è controllata dal prodotto delle due norme. Dunque, puoi al massimo dimostrare che la convoluzione tra L^1 e L^2 è L^2.
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Quello che ha detto EvaristeG è giusto, ma si può ottenere molto di più:
se tu sai che le tue funzioni sono per esempio (chiedendo anche troppo) $ L^2 \cap L^1 $ allora il prodotto di convoluzione è in $ L^\infty $ , anzi è continuo.... Segue tutto dalla dis. di Young, puoi trovarla in un qualsiasi libro di analisi reale ...
ciao
se tu sai che le tue funzioni sono per esempio (chiedendo anche troppo) $ L^2 \cap L^1 $ allora il prodotto di convoluzione è in $ L^\infty $ , anzi è continuo.... Segue tutto dalla dis. di Young, puoi trovarla in un qualsiasi libro di analisi reale ...
ciao
import javax.swing.geom.*;
Per quanto riguarda il fatto che la convoluzione di funzioni di L^2 è ben definita il professore ha fatto la dimostrazione e mi sembra che funzioni.Il fatto che anche la convoluzione stia in L^2 era messo tra le proprietà e io ho provato a dimostrarlo,ma non ci sono riuscita,anzi ho dimostrato esattamente il contrario.In ogni caso domani dopo l'esame glielo chiedo,sperando che non me lo chieda lui...
In ogni caso qualcuno sa consigliarmi un buon libro che parli di queste cose,magari gli do un'occhiata...grazie a tutti
In ogni caso qualcuno sa consigliarmi un buon libro che parli di queste cose,magari gli do un'occhiata...grazie a tutti
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per definirla non ci sono problemi : se le funzioni sono L^2
$ f \star g (x) = \int_R f(s) g(x-s) dx \qqad \leq || f ||_2 || g ||_2 $ applicando Holder ( che in questo caso semplice coincide con Young ).
Che sia in $ L^2 $ invece non saprei , anzi nutro qualche dubbio .... sicuramente funziona se consideri funzioni anche $ L^1 $
per esempio trovi qualcosa sul : Lieb Loss Analysis
ma come dicevo su qualsiasi libro di analisi reale o armonica trovi questi argomenti
$ f \star g (x) = \int_R f(s) g(x-s) dx \qqad \leq || f ||_2 || g ||_2 $ applicando Holder ( che in questo caso semplice coincide con Young ).
Che sia in $ L^2 $ invece non saprei , anzi nutro qualche dubbio .... sicuramente funziona se consideri funzioni anche $ L^1 $
per esempio trovi qualcosa sul : Lieb Loss Analysis
ma come dicevo su qualsiasi libro di analisi reale o armonica trovi questi argomenti
import javax.swing.geom.*;