Intervallo massimale

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marcox^^
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Intervallo massimale

Messaggio da marcox^^ » 11 gen 2007, 21:45

$ y' = |x| + y^2, y(0) = a > 0 $
Determinare se l'intervallo massimale di definizione della soluzione del precedente problema di Cauchy si estende a + infinito o no.

marcox^^
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Messaggio da marcox^^ » 11 feb 2007, 13:44

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 11 feb 2007, 15:34

scriviamo qualcosa (avverto che sono anni che non mi metto a fare ste cose)
$ ~y'=|x|+y^2\geq 0 $ puo' essere 0 solo in $ ~x=0 $ (antrambi gli addendi devono essere 0). Ma $ ~y'(0)=a^2>0 $, quindi $ ~y'>0\; \forall x $, quindi e' strettamente crescente
$ ~y'\geq|x|\; \forall x $ quindi $ $\lim_{x\rightarrow\infty}y'\geq \lim_{x\rightarrow\infty}|x|\rightarrow +\infty$ $, quindi $ ~y(x) $ non e' limitata
niente ci garantisce che non ci siano punti del dominio ove ci siano asintoti verticali (vedi $ ~y(x)=\tan{x}\quad y'=1+y^2 $)
$ ~\exists \bar{x}<0: y(\bar{x})=0 $ e il numero delle radici e' pari al numero degli asintoti piu' 1

dopo tanto ciacolare direi che si puo' estendere all'infinito. dovro' ridarmi un'occhiata al demarco
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marcox^^
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Messaggio da marcox^^ » 11 feb 2007, 19:37

Non mi torna...

Considero il problema di Cauchy: $ z' = z^2 , z(0)=a>0 $
la cui soluzione è $ z = \frac {a}{1 - a x} $
(che ha intervallo massimale non estendibile a più infinito)
Poiché $ z' < y' => $$\displaystyle{ \int_0^x z'dx < \int_0^x y'dx => z-a < y-a $
Quindi y è strettamente maggiore di z, per cui l'intervallo massimale di y non è estendibile a più infinito.

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