Sarei molto riconoscente se qualcuno più competente di me potesse risolvermi un dubbio. Allora prendiamo una funzione $ y=f(x) $ e indichiamo la sua derivata con $ \frac{dy}{dx} $ come voleva il buon Leibniz. Ora mi chiedo, ma questo modo per indicare la derivata è una semplice notazione tirata fuori dal cappello oppure la derivata è una vera e propria frazione, un rapporto tra differenziali?
Il Courant-Robbins dice in merito che "La notazione di Leibniz offre il vantaggio che i limiti dei rapporti incrementali e delle somme possono essere in certo senso trattati <<come>> fossero effettivamente rapporti o somme..." Insomma questo non fa luce sulla la questione. Su un altro libro ho letto che la derivata è solo "formalmente" un rapporto di differenziali (e intanto vai con le semplificazioni!!!).
Continuando a spulciare di qua e di là ho solo aumentato la confusione che già avevo indi ho deciso di rivolgermi al forum e spero che possiate chiarirmi le idee.
Ciao Luca. No, non ti consiglio di fidarti delle semplificazioni allegre che la notazione potrebbe suggerirti: le sorprese sono sempre dietro l'angolo.
La cosa migliore è attendere quando avrai modo di approfondire la teoria del Calcolo a dovere. Solo quando avrai le nozioni che ci stanno dietro, ti saranno chiari il perché e il percome le "semplificazioni" miracolistiche funzionano (e in quali casi funzionano).
Per ora, accontentati di sapere che la divisione di un differenziale per un altro non ha senso e che $ \frac{d}{dx} $ è un modo buffo per scrivere "deriviamo rispetto a x" (esattamente come $ \int f(x) \ dx $ è un modo buffo per dire "calcoliamo l'antiderivata").
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Prendiamo un'equazione differenziale a variabili separate e.g.
$ y'=2xy $
Il mio libro da scuola superiore a questo punto consiglia di sostituire $ y'=\frac{dy}{dx} $ e quindi (moltiplicando per un differenziale!!) ridurla a:
$ dy=2xy \, dx $
$ \frac{dy}{y}=2x \, dx $
da cui si integra e bla bla bla...
Ma quindi questo procedimento è un errore formale? (Se lo è mi sembra abbastanza grave per un libro di testo!)
in realtà quell'equazione diventa:
$ \displaystyle \frac{y'}{y} = 2x $ e integrando (per $ y(x) \neq 0 $)
$ \displaystyle \int \frac{y'}{y}dx = \int 2x dx $. Poichè abbiamo $ y = y(x) $ l'integrale al primo membro diventa - dal momento che al numeratore abbiamo la derivata -
$ \log y = x^2 + c $ da cui
$ y=e^{x^2+c} $
poi si studia quando si annulla in almeno un punto.. e quando è sempre nulla..
mark86 ti ha dato la versione corretta del procedimento
quella coi differenziali e' un pratico artifizio, che per le funzioni "comuni" funziona benissimo
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