Propongo la mia produttoria (derivante da una generalizzazione del problema delle arcotangenti) che alla fine si fa in un modo semi-olimpico...
Evaluate: $ \displaystyle \prod_{n=1}^{+\infty} \left( 1+ \frac 1{n^3} \right ) $
Produttorie pisane...
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Poniamo $ \omega=e^{\frac{\pi i}{3}} $
$ \displaystyle\prod_{n=1}^{M}\left( 1+\frac{1}{n^3}\right)=(M+1)\prod_{n=1}^{M}\left(1-\frac{\omega}{n}\right)\left(1-\frac{1-\omega}{n}\right) $
$ \displaystyle\frac{M+1}{(M!)^2}\prod_{n=1}^{M}(n-\omega)((n-1)+\omega)=\frac{\omega(M+1)(M-\omega)}{(M!)^2}\prod_{n=1}^{M-1}(n^2-\omega^2) $
$ \displaystyle\frac{\omega(M+1)(M-\omega)}{M^2}\prod_{n=1}^{M-1}\left(1-\frac{\omega^2}{n^2}\right)\xrightarrow[M\rightarrow+\infty]{} $$ \displaystyle\frac{\sin(\pi\omega)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\cosh\left(\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\right) $
$ \displaystyle\prod_{n=1}^{M}\left( 1+\frac{1}{n^3}\right)=(M+1)\prod_{n=1}^{M}\left(1-\frac{\omega}{n}\right)\left(1-\frac{1-\omega}{n}\right) $
$ \displaystyle\frac{M+1}{(M!)^2}\prod_{n=1}^{M}(n-\omega)((n-1)+\omega)=\frac{\omega(M+1)(M-\omega)}{(M!)^2}\prod_{n=1}^{M-1}(n^2-\omega^2) $
$ \displaystyle\frac{\omega(M+1)(M-\omega)}{M^2}\prod_{n=1}^{M-1}\left(1-\frac{\omega^2}{n^2}\right)\xrightarrow[M\rightarrow+\infty]{} $$ \displaystyle\frac{\sin(\pi\omega)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\cosh\left(\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\right) $
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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