)Dimostrare che in $ \mathbb{R}^2 $, l'insieme complementare dell'insieme $ \left\{(x,y):x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\right\} $ è connesso per archi.
Spero non lo troviate troppo "meccanico"; a me è sembrato abbastanza carino...
Punti irrazionali e spazi connessi
Punti irrazionali e spazi connessi
Mio primo post di topologia... (bellissima topologia, tra l'altro!!! )
Dimostrare che in $ \mathbb{R}^2 $, l'insieme complementare dell'insieme $ \left\{(x,y):x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\right\} $ è connesso per archi.
Spero non lo troviate troppo "meccanico"; a me è sembrato abbastanza carino...
)Dimostrare che in $ \mathbb{R}^2 $, l'insieme complementare dell'insieme $ \left\{(x,y):x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\right\} $ è connesso per archi.
Spero non lo troviate troppo "meccanico"; a me è sembrato abbastanza carino...
Hmmm... ci provo (ho giusto letto la definzione di connessione per archi, magari non ho capito bene).
Caso 1: $ (a,q) \rightarrow (r,b) $ con a,b irrazionali
Allora prima vado da (a,q) in (a,b) con un segmento. La prima coordinata è irrazionale, quindi va bene. Poi vado da (a,b) in (r,b) con un segmento. Qui la seconda coordinata è irrazionale.
Caso 2: $ (a,q) \rightarrow (b,r) $ con a,b irrazionali.
Allora vado da (a,q) ad $ ~ (a, \sqrt{2}) $ a $ ~ (b,\sqrt2) $ a (b,r), e ho sempre avuto almeno una coordinata irrazionale.
Poi se scambio le x con le y è uguale.
Caso 1: $ (a,q) \rightarrow (r,b) $ con a,b irrazionali
Allora prima vado da (a,q) in (a,b) con un segmento. La prima coordinata è irrazionale, quindi va bene. Poi vado da (a,b) in (r,b) con un segmento. Qui la seconda coordinata è irrazionale.
Caso 2: $ (a,q) \rightarrow (b,r) $ con a,b irrazionali.
Allora vado da (a,q) ad $ ~ (a, \sqrt{2}) $ a $ ~ (b,\sqrt2) $ a (b,r), e ho sempre avuto almeno una coordinata irrazionale.
Poi se scambio le x con le y è uguale.
