per coloro che hanno letto conìugi, e non coniùgi, i miei complimenti...
comunque, determinare tutti i gruppi finiti $ G $ tali che per ogni divisore proprio $ d $ dell'ordine di $ G $ esiste ed è unica una classe di coniugio di cardinalità $ d $.
gruppi: coniugi e divisori
Interessante che vi sia una persona che si spaccia per me...
Non preoccuparti, che i problemi di algebra in generale mi piacciono (un po' meno quelli contosi..); e' che adesso sono in ferie (piu' o meno, non faccio ferie da cinque anni circa...). Questo problema mi stuzzica molto, stasera provo a farlo.
Non preoccuparti, che i problemi di algebra in generale mi piacciono (un po' meno quelli contosi..); e' che adesso sono in ferie (piu' o meno, non faccio ferie da cinque anni circa...). Questo problema mi stuzzica molto, stasera provo a farlo.
Allora, ad ogni divisore proprio viene associato, per ipotesi, una classe di coniugio di cardinalita' determinata dal divisore stesso.
Essendo le classi di coniugio a due a due disgiunte, ne consegue che la somma dei divisori propri (i.e. la somma delle cardinalita' delle classi di coniugio associate) deve essere inferiore od uguale all'ordine di G:
$ n\geq\sum_{d|n}d\quad d\neq1,n $
D'altro canto abbiamo l'equazione di classe:
$ n= Z(G)+\sum_{x\in X}[G:Cl(x)] $
Con Cl(G) abbiamo indicato la famiglia delle classi di G e con X un suo trasversale.
Poiche' si ha che [G:Cl(x)] e' sempre divisore di n, ed ad ogni divisore e' associata in modo univoco una classe di coniugio, abbiamo che questi sono tutti di indice differenti, esclusi i casi in cui Cl(x) sia banale o coincida con G. Se e' banale si trova in Z(G), se coincide con G non c'e' posto per altre classi di coniugio. Quindi se G ha la proprieta' voluta si ha che Z(G) deve essere unitario, ovvero includere solo l'identita', inoltre:
$ 2n= \sum_{d|n}d $
Adesso sono affamato, finisco un altro di'...
Essendo le classi di coniugio a due a due disgiunte, ne consegue che la somma dei divisori propri (i.e. la somma delle cardinalita' delle classi di coniugio associate) deve essere inferiore od uguale all'ordine di G:
$ n\geq\sum_{d|n}d\quad d\neq1,n $
D'altro canto abbiamo l'equazione di classe:
$ n= Z(G)+\sum_{x\in X}[G:Cl(x)] $
Con Cl(G) abbiamo indicato la famiglia delle classi di G e con X un suo trasversale.
Poiche' si ha che [G:Cl(x)] e' sempre divisore di n, ed ad ogni divisore e' associata in modo univoco una classe di coniugio, abbiamo che questi sono tutti di indice differenti, esclusi i casi in cui Cl(x) sia banale o coincida con G. Se e' banale si trova in Z(G), se coincide con G non c'e' posto per altre classi di coniugio. Quindi se G ha la proprieta' voluta si ha che Z(G) deve essere unitario, ovvero includere solo l'identita', inoltre:
$ 2n= \sum_{d|n}d $
Adesso sono affamato, finisco un altro di'...