Trovare sup e inf di:
$ \sin{n} $ con n appartenente agli interi positivi
In pratica è facile verificare che 1 sia maggiorante di $ \sin{n} $ non meno facile è vedere che esiste sempre un $ n $ tale che $ \sin{n}>1-k $ per ogni $ k>0 $ appertenente a R.
Qualcuno riesce a dimostralo anche in altri modi?
sin n
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MindFlyer
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MindFlyer
Vai a fare l'avvocato delle matricole nella vita reale, ti riesce meglio.
Era in MNE ed era a quanto mi sembra una richiesta di aiuto per un problema. Ergo ho risposto con un hint, ed alla subitanea richiesta di chiarimenti ho risposto ancora.
Se c'è dell'altro su cui vuoi dibattere, maghetto, sono a tua disposizione (in qualità di amministratore, perché in qualità di utente ti prenderei a pedate in culo).
Era in MNE ed era a quanto mi sembra una richiesta di aiuto per un problema. Ergo ho risposto con un hint, ed alla subitanea richiesta di chiarimenti ho risposto ancora.
Se c'è dell'altro su cui vuoi dibattere, maghetto, sono a tua disposizione (in qualità di amministratore, perché in qualità di utente ti prenderei a pedate in culo).
Buoni ... su.
Allora, riscrivo semplicemente gli hint di Mind in maniera più estesa:
0) Dimostrare che per ogni reale $ \alpha $ e per ogni naturale positivo $ n $, esistono interi a,b con $ 1\le a\le n $ tali che
$ |a\alpha-b|<\dfrac{1}{n+1} $
1) Posto $ \alpha=2\pi $, applicare il punto precedente al problema, leggermente variato, dimostrando che per ogni n esistono a,b tali che
$ \left|\left(a+\dfrac{1}{4}\right)2\pi-b\right|<\dfrac{1}{n+1} $
2)Usando la continuità del seno, mostrare che per ogni $ k\geq0 $, esiste $ n\geq0 $ tale che
$ |2a\pi+\pi/2-b|<\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow |\sin(b)-1|<\dfrac{1}{k+1} $
NB : il punto 0) è lì solo per bellezza ... insomma, il teorema di Dirichlet andrebbe conosicuto.
Allora, riscrivo semplicemente gli hint di Mind in maniera più estesa:
0) Dimostrare che per ogni reale $ \alpha $ e per ogni naturale positivo $ n $, esistono interi a,b con $ 1\le a\le n $ tali che
$ |a\alpha-b|<\dfrac{1}{n+1} $
1) Posto $ \alpha=2\pi $, applicare il punto precedente al problema, leggermente variato, dimostrando che per ogni n esistono a,b tali che
$ \left|\left(a+\dfrac{1}{4}\right)2\pi-b\right|<\dfrac{1}{n+1} $
2)Usando la continuità del seno, mostrare che per ogni $ k\geq0 $, esiste $ n\geq0 $ tale che
$ |2a\pi+\pi/2-b|<\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow |\sin(b)-1|<\dfrac{1}{k+1} $
NB : il punto 0) è lì solo per bellezza ... insomma, il teorema di Dirichlet andrebbe conosicuto.
potresti farmi vedere cosa avrei dovuto fare?
Allora ....
0) Considera $ \{\alpha\},\{2\alpha\},\ldots,\{n\alpha\} $ e dividi l'intervallo [0,1[ in n+1 parti uguali. Se una delle n parti frazionarie cade in [0,1/(n+1)[ o in [n/(n+1), 1[, allora hai che esiste b tale che $ |a\alpha-b|<1/(n+1) $; altrimenti esistono due parti frazionarie nello stesso intervallino per i piccioni (hai n parti frazionarie e n+1-2=n-1 intervallini se escludi gli estremi) e dunque
$ |a_1\alpha-a_2\alpha-b|<1/(n+1) $.
1) Rifai la stessa cosa di sopra, considerando però, invece delle parti frazionarie, la seguente funzione : $ [x]_{\pi/2}=\max\{n-\pi/2\vert n-\pi/2<x,\ n\in\mathbb{Z}\} $ e quindi $ \{x\}_{\pi/2}=x-[x]_{\pi/2} $.
2) E' la definizione di continuità.
0) Considera $ \{\alpha\},\{2\alpha\},\ldots,\{n\alpha\} $ e dividi l'intervallo [0,1[ in n+1 parti uguali. Se una delle n parti frazionarie cade in [0,1/(n+1)[ o in [n/(n+1), 1[, allora hai che esiste b tale che $ |a\alpha-b|<1/(n+1) $; altrimenti esistono due parti frazionarie nello stesso intervallino per i piccioni (hai n parti frazionarie e n+1-2=n-1 intervallini se escludi gli estremi) e dunque
$ |a_1\alpha-a_2\alpha-b|<1/(n+1) $.
1) Rifai la stessa cosa di sopra, considerando però, invece delle parti frazionarie, la seguente funzione : $ [x]_{\pi/2}=\max\{n-\pi/2\vert n-\pi/2<x,\ n\in\mathbb{Z}\} $ e quindi $ \{x\}_{\pi/2}=x-[x]_{\pi/2} $.
2) E' la definizione di continuità.