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Potreste dimostrarmi perchè l'integrale indefinito del prodotto di due funioni $ f(x), g(x) $ è uguale alla differenza fra il prodotto della primitiva della prima funzione per la seconda funzione e l'integrale del prodotto tra la primitiva della prima funzione e la derivata della seconda? cioè (anche se non so fare il simbolo integrale in latex): $ Integrale (f(x)*g(x))dx= F(x)*g(x)-Integrale(F(x)*g'(x))dx $ Grazie

sia F una primitiva di f.

dalle regole di derivazione segue

$ \[\displaystyle \frac{d}{{dx}}F(x)g(x) = f(x)g(x) + F(x)g'(x) \] $

Portando a sinistra $ F(x)g'(x) $ e integrando hai

$ \[\displaystyle F(x)g(x) - \int {F(x)g'(x)dx} = \int {f(x)g(x)dx} \] $

pic88 ha scritto:sia F una primitiva di f.

dalle regole di derivazione segue

$ \[\displaystyle \frac{d}{{dx}}F(x)g(x) = f(x)g(x) + F(x)g'(x) \] $

Portando a sinistra $ F(x)g'(x) $ e integrando hai

$ \[\displaystyle F(x)g(x) - \int {F(x)g'(x)dx} = \int {f(x)g(x)dx} \] $

Scusate se m'intrometto, ma la scrittura del simbolo di derivata o lo uniformiamo o non ci capiamo un cazzo.
La derivata andrebbe sempre indicata con l'apice, per non confondere. Se usiamo lettere maiuscole e minuscole specifichiamolo. Quindi, pic, rendi più leggibile il tuo post che è incomprensibile ad occhio allenato, figurati a chi chiede help.

Costume vuole che le primitive siano maiuscole e le derivate minuscole; inoltre, l'apice si usa per una sola funzione ... quando ci sono cose complicate o funzioni esplicitate nella x, si tende ad usare il d/dx ... cmq, MdF, calma : è solo notazione

pippo86 ha scritto:anche se non so fare il simbolo integrale in latex

per farlo basta digitare il comando \int
se vuoi scrivere un integrale definito ad esempio $ \displaystyle \int_{x_0}^{x_1} f(x)dx $
il comando è \int_(estremo inferiore)^(estremo superiore)....è facile!! ciao!!

EvaristeG ha scritto:Costume vuole che le primitive siano maiuscole e le derivate minuscole; inoltre, l'apice si usa per una sola funzione ... quando ci sono cose complicate o funzioni esplicitate nella x, si tende ad usare il d/dx ... cmq, MdF, calma : è solo notazione

Chiedo perdono, nella foga ho dimenticato che i matematici siete voi e non mi devo inventare preferenze di notazione

ma partendo da
$ d/dx f(x)g(x)= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $allora
$ \int d/dx(f(x)g(x))dx= \int(f'(x)g(x))dx+\int (f(x)g'(x))dx $ Da qui come arrivo al risultato finale scritto nella prima posta?

pippo86 ha scritto:ma partendo da
$ d/dx f(x)g(x)= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $allora
$ \int d/dx(f(x)g(x))dx= \int(f'(x)g(x))dx+\int (f(x)g'(x))dx $ Da qui come arrivo al risultato finale scritto nella prima posta?

$ $ \int \frac{d}{dx} [ f(x) \cdot g(x)] dx = f(x) \cdot g(x) $ $
eccetera, eccetera.

Cerco di riscrivere tutti i passaggi partendo dalla regola di derivazione del prodotto da cui si ricava l'integrazione per parti :

$ D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $

Integriamo entrambi i membri:

$ \displaystyle \int {D(f(x)g(x))}dx=\int {f'(x)g(x)}dx + \int {f(x)g'(x)}dx $;

$ \displaystyle f(x)g(x)=\int {f'(x)g(x)}dx + \int {f(x)g'(x)}dx $;
portando al primo membro $ \displaystyle \int {f'(x)g(x)}dx $;
$ \displaystyle f(x)g(x) - \int {f'(x)g(x)}dx = \int {f(x)g'(x)}dx $

Riscrivendo l'ultima uguaglianza da destra a sinistra ottieni la nota formula di integrazione per parti:

$ \displaystyle \int {f(x)g'(x)}dx= f(x)g(x) - \int {f'(x)g(x)}dx $

ps
nessuno mi voglia male se ho cambiato la notazione e ho scritto $ D(f(x)g(x)) $ per indicare la derivata del prodotto... !!

@MdF
ho solo usato la stessa notazione di pippo86, che ha postato il problema

pic88 ha scritto:@MdF
ho solo usato la stessa notazione di pippo86, che ha postato il problema

Me n'ero accorto.