[Ho spezzato il thread su Cantor, mi sembra più ordinato. Mind]
ragazzi,scusate,anch'io sono alle prese con cantor,in particolare con la dimostrazione del lemma sulla cardinalità di P(X)> card(X). la dimostrazione data dal prof è simile a quella che ho trovato su wikipedia, nn so se posso citarla, cmq lo faccio lo stesso per farvi capire la parte che proprio nn riesco a capire
1) supponiamo per assurdo che f: A --> P(A) sia una corrispondenza biunivoca.
2)costruiamo un nuovo sottoinsieme D di A in maniera che questo non possa essere nessuno degli insiemi f(a) per ogni a appartenente ad A: il modo più ovvio è quello di dire che per ogni a il nuovo sottinsieme D contiene a se e solo se a non appartiene ad f(a), ovvero D=[a appartenente ad A tale che a nn appartiene ad f(a)], che equivale a dire a appartiene a D=f(d) implica d non appartiene ad f(d).
dunque....la cosa che proprio non capisco è come si possa prendere un insieme f(a) in A stesso. Voglio dire....l'insieme f(a) è l'insieme delle immagini,ma come può essere collocato in A stesso? Ho anche altri dubbi, ma siccome questa è la prima fase della dimostrazione praticamente sono bloccato ancora prima di iniziare.
Grazie x l'aiuto
Cantor - |P(X)|>|X|
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MindFlyer
Ciau spellmaster, e benvenuto nel forum.
Per curiosità, stai studiando teoria degli insiemi per qualche corso di laurea? Quale?
Cercherò di risponderti.
Intanto nella dimostrazione manca un pezzo (banale, ma manca), cioè che $ |P(X)|\geq |X| $. Ma lo si vede subito, perché la funzione $ f(x)=\{ x \} $ è iniettiva da X in P(X). Resta da provare che non può valere l'uguaglianza, che è ciò che fa la dimostrazione che hai scritto.
Venendo al tuo problema, tu assumi per assurdo che esista una bigezione f tra A e P(A), che in particolare è una funzione che manda ogni elemento di A in un elemento di P(A). Incidentalmente, gli elementi di P(A) sono sottoinsiemi di A, e quindi ecco che se $ a \in A $, allora $ f(a)\subseteq A $.
Dire che "f(a) è l'insieme delle immagini" non ha alcun senso (con tutta la buona volontà, non significa niente), ne convieni?
Per curiosità, stai studiando teoria degli insiemi per qualche corso di laurea? Quale?
Cercherò di risponderti.
Intanto nella dimostrazione manca un pezzo (banale, ma manca), cioè che $ |P(X)|\geq |X| $. Ma lo si vede subito, perché la funzione $ f(x)=\{ x \} $ è iniettiva da X in P(X). Resta da provare che non può valere l'uguaglianza, che è ciò che fa la dimostrazione che hai scritto.
Venendo al tuo problema, tu assumi per assurdo che esista una bigezione f tra A e P(A), che in particolare è una funzione che manda ogni elemento di A in un elemento di P(A). Incidentalmente, gli elementi di P(A) sono sottoinsiemi di A, e quindi ecco che se $ a \in A $, allora $ f(a)\subseteq A $.
Dire che "f(a) è l'insieme delle immagini" non ha alcun senso (con tutta la buona volontà, non significa niente), ne convieni?
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MindFlyer
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spellmaster
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- Iscritto il: 25 set 2006, 19:14
sto seguendo un corso di laurea in ingegneria aerospaziale,e il prof di analisi ha pensato bene di iniziare la teoria degli insiemi dimostrando il lemma di cantor...cmq intendevo dire che gli elementi f(a) sono immagini degli elementi a appartenenti ad A,per cui l'insieme f(A) (avevo dimenticato la "A" maiuscola) è l'insieme immagine del'insieme A. Penso di aver capito,si vedrà grazie!
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spellmaster
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non ho capito come può essere P(X) > o uguale (X). se anche X fosse vuoto, P(X) non avrebbe comunque in sè il sottoinsieme "insieme vuoto" e quindi essere sempre e soltanto maggiore?anche perchè come formula io ho che il numero di elementi in P(X) è pari a 2 elevato al numero di elementi in (X),quindi se card(X) è zero, allora card P(X) è uno.
ho anche un'altra domanda sulle topologie, ma la faccio dopo! ciao
ho anche un'altra domanda sulle topologie, ma la faccio dopo! ciao
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MindFlyer
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MindFlyer
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spellmaster
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era una battuta...vabbè lasciamo stare và....c'ho n'amico che dice di conoscerti....anyways.....pure se nn c'entra nulla...sei di messina?....tornando alla mate, quello che non mi è chiaro è perchè nella legge che lega P(X) e (X) consideriamo anche la possibile uguaglianza dal momento che non penso sia possibile averla in nessun modo
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MindFlyer
Non sono di Messina, ma forse conosco qualche Messinese, anche se adesso non mi viene in mente chi.
Il nocciolo della questione è precisamente questo: $ P\implies P\vee Q $.
Spero che si capisca, comunque il significato è semplice: se la proposizione P è vera, allora è vera la proposizione P o Q.
Per esempio, considera l'insieme dei numeri interi, visto come insieme dei numeri pari o dispari. Il numero 37 è dispari, appartiene all'insieme? Certo, perché l'insieme contiene i numeri pari o dispari, ed a maggior ragione contiene i dispari.
Altro esempio: un cesto può contenere solo mele o pere. Posso metterci una mela? Certo, perché se può contenere mele o pere, a maggior ragione può contenere una mela.
Altro esempio ancora: $ 1\geq 0 $? Sì, perché 1>0, quindi è ancor più vero che 1 è "maggiore o uguale" a 0.
Detto questo, ha senso scrivere che $ |P(X)|\geq |X| $, anche se a posteriori non si verifica mai l'uguaglianza? Certamente, stiamo dicendo una cosa più debole, ovvero che c'è o uguale o maggiore. Sappiamo (perché qualcuno l'ha dimostrato..) che l'uguaglianza non c'è mai, ma comunque la relazione $ \geq $ è verificata.
Il nocciolo della questione è precisamente questo: $ P\implies P\vee Q $.
Spero che si capisca, comunque il significato è semplice: se la proposizione P è vera, allora è vera la proposizione P o Q.
Per esempio, considera l'insieme dei numeri interi, visto come insieme dei numeri pari o dispari. Il numero 37 è dispari, appartiene all'insieme? Certo, perché l'insieme contiene i numeri pari o dispari, ed a maggior ragione contiene i dispari.
Altro esempio: un cesto può contenere solo mele o pere. Posso metterci una mela? Certo, perché se può contenere mele o pere, a maggior ragione può contenere una mela.
Altro esempio ancora: $ 1\geq 0 $? Sì, perché 1>0, quindi è ancor più vero che 1 è "maggiore o uguale" a 0.
Detto questo, ha senso scrivere che $ |P(X)|\geq |X| $, anche se a posteriori non si verifica mai l'uguaglianza? Certamente, stiamo dicendo una cosa più debole, ovvero che c'è o uguale o maggiore. Sappiamo (perché qualcuno l'ha dimostrato..) che l'uguaglianza non c'è mai, ma comunque la relazione $ \geq $ è verificata.
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spellmaster
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- Iscritto il: 25 set 2006, 19:14
si.....so perchè 1>o uguale a zero anke perchè sennò all'università non ci arrivavo......sigh, chissà che penseranno di me gli altri utenti del sito....con le mele e le pere hai proprio distrutto il mio amor proprio........volevo solo sapere se in quel >o uguale c'era effettivamente la possibilità che P(X) = (X) ma dal momento che ora so per certo che nn c'è, continuo a non capire perchè si continui a considerarlo visto che è inutile,però me ne farò una ragione! grazie ciao
Ciao ragazzi, scusate se mi intrometto.
Penso che l'equivoco sia nato dal fatto che spellmaster nel suo primo post ha dimostrato che dato un insieme X si ha
(1) $ Card(P(X)) \neq Card(X) $
e ha quindi omesso di dimostrare l'altra parte del teorema di Cantor, ovvero che dato un insieme X si ha
(2) $ Card(P(X)) \geq Card(X) $
Questi due risultati insieme dicono esattamente che per ogni insieme X si ha
$ Card(P(X))>Card(X) $
MindFlyer ha quindi completato la dimostrazione dimostrando la (2), e credo che Spellmaster abbia frainteso credendo che MindFlyer intendesse che il teorema di Cantor consistesse solo nella proposizione (2).
Se invece ho frainteso io, sorry
Ciao
Penso che l'equivoco sia nato dal fatto che spellmaster nel suo primo post ha dimostrato che dato un insieme X si ha
(1) $ Card(P(X)) \neq Card(X) $
e ha quindi omesso di dimostrare l'altra parte del teorema di Cantor, ovvero che dato un insieme X si ha
(2) $ Card(P(X)) \geq Card(X) $
Questi due risultati insieme dicono esattamente che per ogni insieme X si ha
$ Card(P(X))>Card(X) $
MindFlyer ha quindi completato la dimostrazione dimostrando la (2), e credo che Spellmaster abbia frainteso credendo che MindFlyer intendesse che il teorema di Cantor consistesse solo nella proposizione (2).
Se invece ho frainteso io, sorry
Ciao
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"
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MindFlyer
Sì, difatti ho detto che nella dimostrazione mancava quel pezzo, non che la mia era una dimostrazione alternativa. Ma forse Martino ha ragione e l'equivoco è tutto lì.
Spellmaster, assumendo che ora sia chiarito l'equivoco, dicevi di avere altre domande sul teorema, e domande sulla topologia. Di che si tratta?
Spellmaster, assumendo che ora sia chiarito l'equivoco, dicevi di avere altre domande sul teorema, e domande sulla topologia. Di che si tratta?
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spellmaster
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- Iscritto il: 25 set 2006, 19:14
si,in effetti le avevo ma nn le ho più perchè mi sono risposto da solo, piuttosto oggi il prof ha spiegato aleph e tutta quella roba lì. penso di averla capita, devo solo rivedermi appunto la parte di aleph perchè ci sono delle frasi che ha detto che si prestano a equivoci. nel caso che non trovo una risposta però apro una nuova discussione perchè mi sembra fuori luogo includere qui l'argomento!!!! ciao