Problema di Cauchy

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Sosuke
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Problema di Cauchy

Messaggio da Sosuke » 25 set 2006, 17:25

Devo risolvere questo problema... come si risolve dovrebbe essermi chiaro... ho solo difficoltà in un punto:
$ \displaystyle\frac{dy}{dx}=xy + x\sqrt{y} , y(1)=0 $

Svolgo come segue:
$ \displaystyle\frac{dy}{xdx}=y + \sqrt{y} $

$ \displaystyle\frac{1}{xdx}=\frac{y + \sqrt{y}}{dy} $

Ecco... ora non so se posso lasciare il $ dx $ e il $ dy $ al denominatore o se li devo portare al numeratore....

per portarli al numeratore dovrei fare una cosa del genere:

$ \displaystyle xdx=\frac{dy}{y + \sqrt{y}} $

Ma si puo fare o mi stravolge il risultato finale?

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 25 set 2006, 17:33

in linea di principio non stravolge niente.
Per lo meno, io l'ho sempre fatto senza badarci molto
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Sosuke
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Messaggio da Sosuke » 25 set 2006, 17:40

Il fatto è che non saprei proprio ocme comportarmi con il $ dx $ e il $ dy $ al denominatore... ma in ogni caso pure con la seconda soluzione rimango bloccato...

come integro $ \displaystyle\int\frac{1}{y+\sqrt{y}}dy $ ?

Ho porvato per sostituzione ma mi incarto malamente...

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 25 set 2006, 17:49

... si dovrebbe usar cautela a parlar di certe cose in un forum di matematica ... soprattutto dove c'è gente che studia matematica... un po' come nel parlar di corda in casa dell'impiccato (o forse del boia, in questo caso).

Quelle "manipolazioni" di dx e dy non hanno senso da cima a fondo, quindi non vedo il motivo della preoccupazione. Tendenzialmente, tutti questi passaggi algebrici insensati si possono riscrivere correttamente in termini di integrazione oppure di forme differenziali... in entrambi i casi è veramente sconveniente mettere un dx o un dy da soli a denominatore... di solito si fa in modo (per pura creanza) di lasciarli semrpe a numeratore.
Perciò ti suggerisco una mirabile scappatoia che è la seguente:
$ \dfrac{dy}{dx}=x(y+\sqrt{y}) $ (fai "denominator comune" ... che orrore)
$ \dfrac{dy}{y+\sqrt{y}}=xdx $ (e così non sei passato dalla fase "oddio un dx a denominatore").
Piccolo avviso, non credere che questa cosa abbia senso...

$ y'=x(y+\sqrt{y}) $
$ \dfrac{y'}{y+\sqrt{y}}=x $
$ \displaystyle{\int_1^t\dfrac{y'(x)}{y(x)+\sqrt{y(x)}}dx=\int_1^txdx} $
ed ora, magia, si ha che se si pone u=y(x), si ha il cambio di variabili $ y'(x)dx=du $, da cui (ricordando che y(1)=0).
$ \displaystyle{\int_0^{y(t)}\dfrac{du}{u+\sqrt{u}}=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac12 $
che è esattamente il risultato a cui si perviene con la separazione delle variabili fatta "grezzamente".

Sosuke
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Messaggio da Sosuke » 25 set 2006, 17:57

EvaristeG ha scritto:... si dovrebbe usar cautela a parlar di certe cose in un forum di matematica ... soprattutto dove c'è gente che studia matematica... un po' come nel parlar di corda in casa dell'impiccato (o forse del boia, in questo caso).

...

Piccolo avviso, non credere che questa cosa abbia senso...

Oh.. che mi volete decapitare????? :shock:

A parte gli scherzi.. non capisco cosa non ha senso...

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 25 set 2006, 17:59

Riguardo all'integrale :
$ \int\dfrac{dy}{y+\srqt{y}} $
poni $ v=\sqrt{y} $ da cui $ dv=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}dy $ da cui
$ \int\dfrac{dy}{y+\srqt{y}}=2\int\dfrac{1}{2\sqrt{y}}dy\dfrac{1}{\sqrt{y}+1}= $$ 2\int\dfrac{dv}{v+1}=2\log(v+1)+C $

Nel tuo caso
$ \dfrac{t^2}{2}-\dfrac{1}{2}=2\log\left(\dfrac{\sqrt{y(t)}+1}{1}\right) $
da cui $ \exp(\dfrac{t^2-1}{4})=\sqrt{y(t)}+1 $
ovvero
$ y(t)=\left(e^{(t^2-1)/4}-1\right)^2 $

EDIT : corretto errore.
Ultima modifica di EvaristeG il 26 set 2006, 14:19, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da EvaristeG » 25 set 2006, 18:02

Non ha senso scrivere una cosa come $ \dfrac{y+\sqrt{y}}{dy} $ perchè non ha senso scrivere dy come se fosse una variabile o un numero reale... non ha senso moltiplicare per dx e trattare dy/dx come se fosse una frazione. Tutte queste cose sono utili sistemi mnemonici per imparare tecniche di soluzione delle eq diff, ma devono (dovrebbero) essere sostenuti dalla conoscenza di cosa ci sta dietro. I giochini con i dx e i dy sono equivalenti all'ultima parte del mio primo post, dove risolvo l'equazione differenziale con gli stessi passaggi ma senza utilizzare i differenziali.

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Messaggio da SkZ » 25 set 2006, 18:03

Sosuke ha scritto:Il fatto è che non saprei proprio ocme comportarmi con il $ dx $ e il $ dy $ al denominatore... ma in ogni caso pure con la seconda soluzione rimango bloccato...

come integro $ \displaystyle\int\frac{1}{y+\sqrt{y}}dy $ ?

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$ \displaystyle \frac{\textrm{d}y}{\sqrt{y}}= 2\textrm{d}\sqrt{y} $
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Messaggio da Sosuke » 25 set 2006, 20:19

EvaristeG ha scritto:Non ha senso scrivere una cosa come $ \dfrac{y+\sqrt{y}}{dy} $ perchè non ha senso scrivere dy come se fosse una variabile o un numero reale... non ha senso moltiplicare per dx e trattare dy/dx come se fosse una frazione. Tutte queste cose sono utili sistemi mnemonici per imparare tecniche di soluzione delle eq diff, ma devono (dovrebbero) essere sostenuti dalla conoscenza di cosa ci sta dietro. I giochini con i dx e i dy sono equivalenti all'ultima parte del mio primo post, dove risolvo l'equazione differenziale con gli stessi passaggi ma senza utilizzare i differenziali.

Beh io non è che sapevo tutte queste cose che stai dicendo ora... Io mi sto basando su quello che leggo e studio nel libro di matematica che ho qui... quindi sempre da una fonte di matematici non è che è uscito dalla mia testa ... ma comunque se mi dici che non ha senso il modo in cui svolgo l'esercizio è naturale che io voglia cambiare...

Ma comunque... tornando all'esercizio... il modo corretto di svolgerlo è quello scritto nel tuo primo messaggio?

Grazie ancora...

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Messaggio da EvaristeG » 25 set 2006, 22:32

Allora ... quello che io ho scritto non è altro che la "separazione delle variabili" fatta formalmente ... poi, appunto come trucco mnemonico, puoi benissimo scrivere y'=dy/dx e poi trattarla come se fosse una frazione.
Quel che volevo dire è che, una volta imboccata questa strada, è un po' inutile chiedersi se una certa manipolazione algebrica sia o meno ammessa, come ad esempio il passare da
$ \dfrac{1}{xdx}=\dfrac{y+\sqrt{y}}{dy} $
a
$ xdx=\dfrac{dy}{y+\sqrt{y}} $.
In teoria, non potresti fare nulla di quanto stai facendo, in pratica, se cominci a farlo, poi puoi fare tutto : per scoprire che un passaggio non è valido dovresti ritornare alla versione "formale" e controllare tutto lì.
Infine, se a lezione o sul libro hai trovato "algoritmi", seguili... di certo otterrai risultati giusti, se gli esercizi arrivano dal libro o dal professore che ha proposto l'algoritmo.

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Messaggio da Sosuke » 26 set 2006, 00:19

No... non importa.. sono il tipo che quando può si migliora e in questo caso se il metodo che hai scritto prima è migliore allora preferisco adottare quello... Spero comunque nel tuo aiuto nel caso mi dovessi inceppare in qualche punto...

Ti ringrazio ancora...

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Messaggio da Sosuke » 26 set 2006, 00:45

Eccomi subito subito... riscrivo punto per punto quello che hai fatto tu... allora...

Nel primo passaggio che hai scritto primo hai semplicemente sostituito $ \displaystyle\frac{dy}{dx} $ con $ y' $... così hai ottenuto $ y'=x(y+\sqrt{y}) $

Nel secondo passaggio hai spostato al primo argomento le y $ \dfrac{y'}{y+\sqrt{y}}=x $

Ecco.. ora mi blocco un pò negli ultimi due passaggi...

Qui $ \displaystyle{\int_1^t\dfrac{y'(x)}{y(x)+\sqrt{y(x)}}dx=\int_1^txdx} $ hai riscritto il primo argomento in funzone della $ x $ e hai messo i due argomenti integrali compresi tra $ 1 $ e $ t $....

Le domande che mi sorgono sono queste:
-Come mai hai riscritto il primo argomento in funzione della x? e poi è la stessa cosa scrivere $ \dfrac{y'}{y+\sqrt{y}} $ e $ \dfrac{y'(x)}{y(x)+\sqrt{y(x)}} $?
E infine, come mai l'integrale è compreso tra $ 1 $ e $ t $ ???

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Franchifis
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Messaggio da Franchifis » 26 set 2006, 00:56

Esiste qualche caso in cui manipolando i differenziali come variabili algebriche si giunge ad un risultato errato?

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Messaggio da EvaristeG » 26 set 2006, 01:24

Allora ... ho riscritto in funzione di x perchè y E' funzione di x ...
il problema di Cauchy, ben scritto, sarebbe $ y'(x)=x(y(x)+\sqrt{y(x)} $. Il fatto che si ometta (x) è solo comodità di scrittura.
Hmm l'integrale è la stessa cosa che fai tu : voglio ricavare y(t) per t generico in funzione di t, quindi integro le due espressioni tra il dato iniziale (1) e t generico. Avrò F(y(t))-F(y(1))=G(t)-G(1) ... ora, F(y(1)) la so calcolare perchè conosco y(1)=0 dal dato iniziale (e ovviamente devo anche conoscere F, ovvero saper fare l'integrale), mentre G(1) la so già così. Mi rimane quindi da invertire la funzione F(y(t)). Se infatti H è la sua inversa, avrò che
y(t)=H(F(y(t)))=H(G(t)-G(1)+F(0))
da cui posso (conoscendo H, G,F che sono soluzioni a integrali o inverse di funzioni) ottenere finalmente la funzione y che soddisfaceva il problema di Cauchy.
L'ho scritta in t e non in x, ma è la stessa cosa.
Cmq ripeto : se ti hanno insegnato un metodo che è quello della separazione delle variabili e dei giochini con dx e dy, seguilo pure, tanto in linea di massima tutti i passaggi fatti in quel modo sono riportabili a dimostrazioni più formali.

PS : sì, ci sono casi in cui l'algebra tradisce... ora non riesco a ricostruirla, ma c'è la dimostrazione che tutte le funzioni hanno una certa derivata nulla (non so se la seconda o la terza).

Leandro
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Messaggio da Leandro » 26 set 2006, 11:08

Quello che dice Evariste mi sorprende non poco.
Io sapevo che la scrittura dy/dx fosse un rapporto
effettivo e non un mero simbolo.In effetti sarebbe cosi':
$ $dx= \Delta x $ = variazione della variabile indipendente
$ $dy=f'(x)dx=f'(x)\Delta x $ = variazione subita dall'ordinata
del punto corrente sulla tangente.
O sono io che sbaglio (ed e' probabile) oppure cambia tutto
ed e' buono a sapersi.
Leandro

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