OliForum Matematico

Sia f un'applicazione dello spazio delle matrici reali nxn in R tale che f(AB)=f(A)f(B). Mostrare che per n>1 è l'applicazione nulla

ciao

uhm, scusa, ma il determinante non è nullo...

determinante di cosa? della mappa?pure volendo fare la matrice associata ho una matrice $ 1 \times n^2 1 $ come giusto che sia viste le dimensioni degli spazi

evariste intendeva dire che il determinante soddisfa le tue ipotesi..
se poi magari ti sei dimenticato di richiedere la linearità della mappa, beh..

si f è lineare.... chiedo scusa

ahhhh ecco ... beh, allora è facile.

io sto cercando di capire dove sono mappati gli elementi della base standard ma non vedo nulla...

Ciao!

detta eij la matrice che ha 1 nell'entrata ij e nelle altre 0, se i e j sono diversi allora eij^2=0 e quindi f(eij)f(eij)=f(0)=0 per moltiplicatività e linearità. Quindi f(eij)=0. Poiché n>1 n e 1 sono diversi quindi 0=f(e1n)f(en1)=f(e1n en1)=f(e11) e preso k diverso da 1, 0=f(ek1)f(e1k)=f(ek1 e1k)=f(ekk). Quindi data A matrice arbitraria f(A)=f(\sum Aij eij)=\sum Aij f(eij)=\sum 0=0

alla luce dei suggerimenti di Martino ho fatto cosi:

$ E_{ij}^2 \neq O \Longleftrightarrow i=j $ e dunque sappiamo che $ fE_{ij}=0 $ quando $ i \neq j $

Consideriamo ora i valori degli $ fE_{ii} $. Essi si possono scrivere come $ E_{ii} = E_{ij} \cdot E_{ji} $ per j=1,...,n. Applicando la mappa a entrambi i membri dell'ultima uguaglianza otteniamo anche $ fE_{ii}=0 $, quindi tutti gli elementi della base sono mappati in 0.

è giusto anche cosi?

Mi sembra esattamente quello che ha fatto martino.

adesso che ho riletto il post di martino sembra anche a me ma prima ero convinto che avesse fatto una cosa diversa e dal suo ragionamento avevo preso spunto per considerare $ E_{ij}^2 $ al quale non avevo mai pensato